【題目】如圖,矩形ABCD中,P是邊AD上的一點,連接BP,CP過點B作射線交線段CP的延長線于點E,交AD邊于點M,且使∠ABE=∠CBP,AB=2,BC=5.
(1)證明:△ABM∽△APB;
(2)當(dāng)AP=3時,求sin∠EBP的值;
(3)如果△EBC是以BC為底邊的等腰三角形,求AP的長.
【答案】(1)見解析;(2)sin∠EBP=;(3)AP的值為4或.
【解析】
(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)與相似三角形的判定即可求解;
(2)過點M作MH⊥BP于H,由AP=x=4可求出MP、AM、BM、BP,然后根據(jù)面積法可求出MH,從而可求出BH,就可求出∠EBP的正弦值;
(3)可分EB=EC和CB=CE兩種情況討論:①當(dāng)EB=EC時,可證到△AMB≌△DPC,則有AM=DP,從而有xy=5x,即y=2x5,代入(1)中函數(shù)解析式就可求出x的值;②當(dāng)CB=CE時,可得到PC=ECEP=BCMP=5y,在Rt△DPC中根據(jù)勾股定理可得到x與y的關(guān)系,然后結(jié)合y關(guān)于x的函數(shù)解析式,就可求出x的值.
(1)證明:∵四邊形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,∠A=∠ABC=∠DCB=∠D=90°,AB=DC,
∴∠APB=∠CBP,
∵∠ABM=∠CBP,
∴∠ABM=∠APB,
∵∠A=∠A.
∴△ABM∽△APB;
(2)解:過點M作MH⊥BP于H,如圖所示:
∵△ABM∽△APB,
∴=,即=,
解得:AM=,
∴MP=AP﹣AM=,
∴BM===,BP===,
∵S△BMP=MPAB=BPMH,
<>∴MH===∴sin∠EBP===.
(3)解:設(shè)AP=x,PM=y.
由(1)得:△ABM∽△APB,
∴=,即=,
解得:y=x﹣
①若EB=EC,則有∠EBC=∠ECB,
∴∠ABM=∠DCP,
在△AMB和△DPC中,,
∴△AMB≌△DPC(ASA),
∴AM=DP,
∴x﹣y=5﹣x,
∴y=2x﹣5,
∴x﹣=2x﹣5,
解得:x=1,或x=4,
∵2<x≤5,
∴AP=x=4;
②若CE=CB,則∠EBC=∠E,
∵AD∥BC,
∴∠EMP=∠EBC=∠E,
∴PE=PM=y,
∴PC=EC﹣EP=5﹣y,
∴在Rt△DPC中,(5﹣y)2﹣(5﹣x)2=22,
∴3x2﹣10x﹣4=0,
解得:x=,或x=(舍去),
∴AP=x=,
終上所述:AP的值為4或.
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【題目】如圖,直線y=2x與雙曲線y=在第一象限的交點為A,過點A作AB⊥x軸于B,將△ABO繞點O旋轉(zhuǎn)90°,得到△A′B′O,則點A′的坐標為( )
A.(1,0)
B.(1,0)或(﹣1,0)
C.(2,0)或(0,﹣2)
D.(﹣2,1)或(2,﹣1)
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【題目】九年(1)班的體育課上,小明、小強和小華三人在學(xué)習(xí)訓(xùn)練足球,足球從一人傳到另一人就記為踢一次.
(1)如果從小強開始踢,經(jīng)過兩次踢球后,足球踢到了小明處的概率是多少?請用數(shù)狀圖或列表法說明.
(2)如果踢三次,球踢到了小明處的可能性最小,應(yīng)從誰開始踢?(直接寫出結(jié)論)
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【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,點B在x軸的正半軸上,OB=,AB⊥OB,∠AOB=30°.把△ABO繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)150°后得到△A1B1O,則點A的對應(yīng)點A1的坐標為___.
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【題目】如圖,∠AOB=90°,且OA,OB分別與反比例函數(shù)y=(x>0)、y=﹣(x<0)的圖象交于A,B兩點,則sin∠OAB的值是( 。
A.B.C.D.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,點B在x軸的正半軸上,OB=,AB⊥OB,∠AOB=30°.把△ABO繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)150°后得到△A1B1O,則點A的對應(yīng)點A1的坐標為___.
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【題目】如圖,M,N是以AB為直徑的⊙O上的點,且=,弦MN交AB于點C,BM平分∠ABD,MF⊥BD于點F.
(1)求證:MF是⊙O的切線;
(2)若CN=3,BN=4,求CM的長.
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【題目】如圖,已知反比例函數(shù)y=-與一次函數(shù)y=kx+b的圖象交于A、B兩點,且點A的橫坐標和點B的縱坐標都是-2.
求:(1)一次函數(shù)的解析式;
(2)△AOB的面積.
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【題目】如圖,在長方形中,點是上一點,連接,沿直線把折疊,使點恰好落在邊上的點處.
(1)若,求的度數(shù);
(2)若,,求線段的長度.
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