Question

（2013•寧夏）如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交C點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3）它的對稱軸是直線x=-

1

2

（1）求拋物線的解析式；
（2）M是線段AB上的任意一點(diǎn)，當(dāng)△MBC為等腰三角形時(shí)，求M點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線的對稱軸得到拋物線的頂點(diǎn)式，然后代入已知的兩點(diǎn)理由待定系數(shù)法求解即可；
（2）首先求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后分CM=BM時(shí)和BC=BM時(shí)兩種情況根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求得點(diǎn)M的坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）設(shè)拋物線的解析式y=a(x+

1

2

)2+k
把A（2，0）、C（0，3）代入得：

25 4 a+k=0 1 4 a+k=3

解得：

a=- 1 2 k= 25 8

∴y=-

1

2

(x+

1

2

)2+

25

8

即y=-

1

2

x2-

1

2

x+3

（2）由y=0得  -

1

2

(x+

1

2

)2+

25

8

=0
∴x₁=2，x₂=-3
∴B（-3，0）
①CM=BM時(shí)
∵BO=CO=3  即△BOC是等腰直角三角形
∴當(dāng)M點(diǎn)在原點(diǎn)O時(shí)，△MBC是等腰三角形
∴M點(diǎn)坐標(biāo)（0，0）
②BC=BM時(shí)
在Rt△BOC中，BO=CO=3，
由勾股定理得BC=

OC2+OB2

∴BC=3

2

，
∴BM=3

2

∴M點(diǎn)坐標(biāo)（3

2

-3，0)

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的綜合知識，第一問考查了待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式，較為簡單．第二問結(jié)合二次函數(shù)的圖象考查了等腰三角形的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)．