Question

（2012•寧波模擬）已知等邊△ABC和Rt△DEF按如圖所示的位置放置，點B，D重合，且點E、B（D）、C在同一條直線上．其中∠E=90°，∠EDF=30°，AB=DE=6

3

，現(xiàn)將△DEF沿直線BC以每秒

3

個單位向右平移，直至E點與C點重合時停止運動，設(shè)運動時間為t秒．
（1）試求出在平移過程中，點F落在△ABC的邊上時的t值；
（2）試求出在平移過程中△ABC和Rt△DEF重疊部分的面積s與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當(dāng)D與C重合時，點H為直線DF上一動點，現(xiàn)將△DBH繞點D順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△ACK，則是否存在點H使得△BHK的面積為4

3

？若存在，試求出CH的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）分當(dāng)F在邊AB上時和在AC邊上時，兩種情況進行討論，分別利用相似三角形的對應(yīng)邊的比相等求得移動的距離，即可求得時間；
（2）根據(jù)（1）得到的時間，即可根據(jù)t的范圍分情況進行討論，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，以及三角形的面積公式即可得到函數(shù)解析式；
（3）首先求得當(dāng)B，H，K在一條直線上時CK的長度，然后利用：△BHK的面積、△BCK的面積、△XKH的面積、△BCH的面積之間的關(guān)系，即可得到一個關(guān)于CK的長度的方程，解得CK的長度．

解答：解：（1）當(dāng)F在邊AB上時，如圖（1），作AM⊥BC，則AM=

3

2

AB=

3

2

×6

3

=9，
∵AM⊥BC，∠FEB=90°
∴EF∥AM，
∴△BEF∽△BMA，
∴

BE

BM

=

EF

AM

，即

BE

3 3

=

6

9

，解得：BE=2

3

，則移動的距離是：6

3

+2

3

=8

3

，則t=

8 3

3

=8；
當(dāng)F在AC上時，如圖（2）同理可得：EC=2

3

，則移動的距離是：2×6

3

-2

3

=12

3

-2

3

=10

3

，則t=

10 3

3

=10，
故t的值是：8或10；





（2）當(dāng)0＜t≤6時，重合部分是三角形，如圖（3），設(shè)AB與BE交于點N，
則BD=

3

t，
則NB=

1

2

BD=

3

2

t，ND=

3

2

BD=

3

2

×

3

t=

3

2

t，則s=

1

2

NB•ND=

1

2

×

3

2

t×

3

2

t=

3 3

8

t²；
當(dāng)6＜t≤8時，重合部分是：△EFD在△ABC左邊的部分的面積是：

1

2

（6-t）² sin30°•cos30°
=

3

8

（6-t）²，
右邊的部分的面積是：

3

2

t-9，
則S=18

3

-

3

8

（6-t）²-

3

2

t+9=-

3

8

t²+

3 3 -3

2

t+

27 3

2

+9，
當(dāng)8＜t＜10時，如圖（4），則CD=

3

t-6

3

，
∵∠TCB=60°，∠D=30°
∴∠DTC=30°，
∴∠D=∠DTC，
∴TC=CD=

3

t-6

3

，
則在直角△THC中，TH=

3

2

TC=

3

2

（

3

t-6

3

）=

3

2

t-9，
則s=18

3

-

1

2

CD•TH=18

3

-

1

2

（

3

t-6

3

）（

3

2

t-9）=-

3 3

4

（t-6）²+18

3

；
當(dāng)10≤t＜12時，重合部分如圖（5），
EC=12

3

-

3

t，
則直角△ECJ中，EJ=

3

EC=

3

（12

3

-

3

t），
則s=

1

2

EC•EJ=

1

2

×

3

（12

3

-

3

t）²=

3 3

2

（12-t）²．

（3）當(dāng)B，H，K在一條直線上時，CH=CK=BC•tan30°=6

3

×

3

3

=6，
設(shè)CH=x，作HL⊥BC于點L，則HL=

1

2

x，
△CKH是邊長是x的等邊三角形，則面積是

3

4

x²，
△BCH的面積是：

1

2

BC•HL=3

3

×

1

2

x=

3 3

2

x，
△BCK的面積是：3

3

x．
當(dāng)0＜CH＜6時，△BHK的面積=△BCK的面積-△CKH的面積-△BCH的面積，即3

3

x-

3 3

2

x-

3

4

x²=4

3

，方程無解．
當(dāng)CH＞6時，△BHK的面積=△CKH的面積+△BCH的面積-△BCK的面積，即

3

4

x²+

3 3

2

x-3

3

x=4

3

，解得：x=8或-2（舍去），故x=8
總之，CH=8．

點評：本題考查了相似三角形的性質(zhì)，正確對t的情況進行分類是關(guān)鍵．