Question

已知：點D是等腰直角三角形ABC斜邊BC所在直線上一點（不與點B重合），連接AD．

（1）如圖1，當(dāng)點D在線段BC上時，將線段AD繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段AE，連接CE．求證：BD=CE，BD⊥CE．

（2）如圖2，當(dāng)點D在線段BC延長線上時，探究AD、BD、CD三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，寫出結(jié)論并說明理由；（3）若BD=CD，直接寫出∠BAD的度數(shù)．

Answer 1

       （1）證明：如圖1，∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB=45°，

∵∠DAE=90°，

∴∠DAE=∠CAE+∠DAC=90°，

∵∠BAC=∠BAD+∠DAC=90°，

∴∠BAD=∠CAE，

在△BAD和△CAE中，

，

∴△BAD≌△CAE（SAS），

∴BD=CE，∠ACE=∠ABC=45°．

∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，

∴BD⊥CE；

（2）2AD²=BD²+CD²，

理由：如圖2，將線段AD繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段AE，連接CE．

與（1）同理可證CE=BD，CE⊥BD，

∵∠EAD=90°AE=AD，

∴ED=AD，

在RT△ECD中，ED²=CE²+CD²，

∴2AD²=BD²+CD²．

（3）如圖3，①當(dāng)D在BC邊上時，將線段AD₁繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段AE，連接BE，

與（1）同理可證△ABE≌△ACD₁，

∴BE=CD₁，BE⊥BC，

∵BD=CD，

∴BD₁=BE，

∴tan∠BD₁E==，

∴∠BD₁E=30°，

∵∠EAD₁=EBD₁=90°，

∴四邊形A、D₁、B、E四點共圓，

∴∠EAB=∠BD₁E=30°，

∴∠BAD₁=90°﹣30°=60°；

②將線段AD繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段AF，連接CF．

同理可證：∠CFD₂=30°，

∵∠FAD₂=FCD₂=90°，

∴四邊形A、F、D₂、C四點共圓，

∴∠CAD₂=∠CFD₂=30°，

∴∠BAD₂=90°+30°=120°，

綜上，∠BAD的度數(shù)為60°或120°．