【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y=x2+bx+cx軸交于點(diǎn)A,B(AB的左側(cè)),拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=1,AB=4.

(1)求拋物線的表達(dá)式;

(2)拋物線上有兩點(diǎn)M(x1,y1)和N(x2,y2),若x11,x21,x1+x22,試判斷y1y2的大小,并說(shuō)明理由;

(3)平移該拋物線,使平移后的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)O,且與x軸交于點(diǎn)D,記平移后的拋物線頂點(diǎn)為點(diǎn)P

①若△ODP是等腰直角三角形,求點(diǎn)P的坐標(biāo);

②在①的條件下,直線x=m(0m3)分別交線段BP、BC于點(diǎn)E、F,且△BEF的面積:△BPC的面積=2:3,直接寫(xiě)出m的值.

【答案】(1)y=x2﹣2x﹣3;(2)y1y2;(3)m的值為1或3﹣2

【解析】分析:(1)先根據(jù)拋物線和x軸的交點(diǎn)及線段的長(zhǎng),求出拋物線的解析式;

(2)根據(jù)拋物線的解析式判斷出點(diǎn)M、N的大概位置,再根據(jù)點(diǎn)M、N的橫坐標(biāo)的范圍判斷函數(shù)值的大小即可;

(3)①作PH⊥x軸于H,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到PH=OH=OD,把問(wèn)題分為當(dāng)點(diǎn)Dx軸的正半軸上,當(dāng)點(diǎn)Dx軸的負(fù)半軸上,設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo)求解即可;

②當(dāng)點(diǎn)Dx軸的正半軸上,延長(zhǎng)HPBCQ,根據(jù)待定系數(shù)法求出直線BP的解析式和直線BC的解析式;然后根據(jù)△BEF的面積:△BPC的面積=2:3,求出m的值當(dāng)點(diǎn)Dx軸的負(fù)半軸上,延長(zhǎng)HPBCQ,同理求出直線BP的解析式,同上求出m的值.

詳解:(1)∵拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=1,AB=4,

∴A(﹣1,0),B(3,0),

∴拋物線解析式為y=(x+1)(x﹣3),

y=x2﹣2x﹣3;

(2)y1<y2;理由如下:

∵x1<1,x2>1,

∴M、N在對(duì)稱(chēng)軸的兩側(cè),

∵x1+x2>2,

∴x2﹣1>1﹣x1,

∴點(diǎn)N到直線x=1的距離比M點(diǎn)到直線x=1的距離遠(yuǎn),

∴y1<y2;

(3)①作PH⊥x軸于H,

∵△OPD為等腰直角三角形,

∴PH=OH=OD,

當(dāng)點(diǎn)Dx軸的正半軸上,如圖1,

設(shè)P(m,﹣m),則D(2m,0),

設(shè)拋物線的解析式為y=x(x﹣2m),

P(m,﹣m)代入得m(m﹣2m)=﹣m,解得m1=0(舍去),m2=1,即P(1,﹣1);

當(dāng)點(diǎn)Dx軸的負(fù)半軸上,如圖2,

設(shè)P(m,m),則D(2m,0),

設(shè)拋物線的解析式為y=x(x﹣2m),

P(m,m)代入得m(m﹣2m)=m,解得m1=0(舍去),m2=﹣1,即P(﹣1,﹣1);

綜上所述,P點(diǎn)坐標(biāo)為(1,﹣1)或(﹣1,﹣1);

②當(dāng)點(diǎn)Dx軸的正半軸上,如圖1,延長(zhǎng)HPBCQ,

設(shè)直線BP的解析式為y=px+q,

B(3,0),P(1,﹣1)代入得,解得,

∴直線BP的解析式為y=x﹣

易得直線BC的解析式為y=x﹣3;

Q(1,﹣2),E(m,m﹣),F(xiàn)(m,m﹣3),

S△PBC=×1×3=,

∵△BEF的面積:△BPC的面積=2:3,

∴S△BEF=1,

(﹣m+)(3﹣m)=1,解得m1=5(舍去),m2=1;

當(dāng)點(diǎn)Dx軸的負(fù)半軸上,如圖2,延長(zhǎng)HPBCQ,

同理可得直線BP的解析式為y=x﹣,

Q(﹣1,﹣4),E(m, m﹣),F(xiàn)(m,m﹣3),

S△PBC=×3×3=,

∵△BEF的面積:△BPC的面積=2:3,

∴S△BEF=3,

(﹣m+)(3﹣m)=3,解得m1=3+2(舍去),m2=3﹣2,

綜上所述,m的值為13﹣2

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