Question

【題目】如圖，已知線段AB，P1是AB的黃金分割點(diǎn)（AP1＞BP1），點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，P2是P1關(guān)于點(diǎn)O的對稱點(diǎn)．求證：P1B是P2B和P1P2的比例中項(xiàng)．

Answer 1

【答案】證明：設(shè)AB=2，

∵P1是AB的黃金分割點(diǎn)（AP1＞BP1），

∴AP1= ×2= ﹣1，

∴P1B=2﹣（ ﹣1）=3﹣ ，

∵點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，

∴OB=1，

∴OP1=1﹣（3﹣ ）= ﹣2，

∵P2是P1關(guān)于點(diǎn)O的對稱點(diǎn)，

∴P1P2=2（ ﹣2）=2 ﹣4，

∴P2B=2 ﹣4+3﹣ = ﹣1，

∵P1B2=（3﹣ ）2=14﹣6 ，P2BP1P2=（ ﹣1）（2 ﹣4）=14﹣6 ，

∴P1B2=P2BP1P2，

∴P1B是P2B和P1P2的比例中項(xiàng)

【解析】設(shè)AB=2，根據(jù)黃金分割的定義得AP1= AB= ﹣1，則P1B=3﹣ ，由點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)得OB=1，所以O(shè)P1= ﹣2，由于P2是P1關(guān)于點(diǎn)O的對稱點(diǎn)，則P1P2=2 ﹣4，可計(jì)算出P2B= ﹣1，然后同過計(jì)算得到P1B2=14﹣6 ，P2BP1P2=14﹣6 ，即P1B2=P2BP1P2，所以P1B是P2B和P1P2的比例中項(xiàng)．
【考點(diǎn)精析】掌握黃金分割是解答本題的根本，需要知道把線段AB分成兩條線段AC，BC（AC>BC），并且使AC是AB和BC的比例中項(xiàng)，叫做把線段AB黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)，其中AC=0.618AB．