Question

如圖，直線與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、C，經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn)的拋物線與x軸的負(fù)半軸上另一交點(diǎn)為B，且tan∠CBO=3．

（1）求該拋物線的解析式及拋物線的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)P是射線BD上一點(diǎn)，且以點(diǎn)P、A、B為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

Answer 1

（1），D（-2，-1）（2）P的坐標(biāo)為（）或（）．

試題分析：（1）由直線可求得A、C的坐標(biāo)，再由tan∠CBO=3，可求得B的坐標(biāo)，用交點(diǎn)式可以求出拋物線解析式，通過(guò)配方即可求出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）過(guò)D作DE⊥AB于E，可以得到∠CAO=∠ABD=45°，直線BD的方程為：，表示出PB的長(zhǎng)，因?yàn)橛幸粚?duì)角相等，所以只需要夾這個(gè)角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例，即可得到三角形相似，所以有兩種情況：和，分別求出PB，再求出P的坐標(biāo)即可．
試題解析：（1）連結(jié)BC，由直線知，點(diǎn)A（-3，0）、C（0，3）；∴OC=3，∵tan∠CBO=3，∴OB=1，∴B（-1，0）；設(shè)，把C（0，3）代入得：，解得：，∴，∵，∴頂點(diǎn)D（）；

（2）過(guò)D作DE⊥AB于E，∵D （），B（-1，0），∴DE=1，BE=1，∴∠ABD=45°，∵A（-3，0）、C（0，3），∴OA=OC=3，∴∠CAO=45°，AO=CO=3，∴AC=，∴∠CAO=∠ABD．設(shè)直線BD為，把D （），B（-1，0）代入得：，解得：，∴直線BD為．
∵點(diǎn)P在射線BD上，∴設(shè)P（）且，則PB=，∵，∴PB=，∵∠CAO=∠ABD，∴有以下兩種情況，可以使以點(diǎn)P、A、B為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似：
①當(dāng)時(shí)，即，解得：，∴，∴P（）；

②當(dāng)時(shí)，即，解得：，∴，∴P（）；
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）或（）．