【題目】拋物線y=x2﹣2mx﹣3m2(m>0)與x軸交于A、B兩點,A點在B點左邊,與y軸交于C點,頂點為M.
(1)當m=1時,求點A、B、M坐標;
(2)如圖(1)的條件下,若P為拋物線上一個動點,以AP為斜邊的等腰直角的直角頂點Q在對稱軸上,(A、P、Q按順時針方向排列),求P點坐標.
(3)如圖2,若一次函數(shù)y=kx+b過B點且與拋物線只有一個公共點,平移直線y=kx+b,使其過拋物線的頂點M,與拋物線另一個交點為D,與x軸交于F點,當m變化時,求證:DF:MF是定值.
【答案】
(1)解:當m=1時,拋物線解析式為y=x2﹣2x﹣3,
當y=0時,x2﹣2x﹣3=0,解得x1=﹣1,x2=3,則A(﹣1,0),B(3,0);
∵y=(x﹣1)2﹣4,
∴M點坐標為(1,﹣4);
(2)解:拋物線的對稱軸為直線x=1,直線x=1交x軸于N,設P(t,t2﹣2t﹣3),Q(1,a)
作PH⊥直線x=1于點H,如圖,
∵△APQ為等腰直角三角形,
∴PQ=AQ,∠AQP=90°,
∵∠AQH+∠AQN=90°,∠AQN+∠QAN=90°,
∴∠PQH=∠QAN,
在△PQH和△QAN中
,
∴△PQH≌△QAN,
∴QH=AN,PH=QN,
即t2﹣2t﹣3﹣a=2,1﹣t=a,
∴t2﹣2t﹣3﹣(1﹣t)=2,
整理得t2﹣t﹣5=0,解得t1= ,t2= ,
∴P點坐標為( , )或( , );
(3)解:證明:y=x2﹣2mx﹣3m2=(x﹣m)2﹣4m2,則M(m,﹣4m2),
當y=0時,x2﹣2mx﹣3m2=0,解得x1=﹣m,x2=3m,則B(3m,0),
把B(3m,0)代入y=kx+b得3mk+b=0,解得b=﹣3mk,
則直線y=kx+b的解析式表示為y=kx﹣3mk,
∵一次函數(shù)y=kx﹣3mk與拋物線只有一個公共點,
∴方程x2﹣2mx﹣3m2=kx﹣3mk有相等的實數(shù)解,
方程整理為x2﹣(2m+k)x﹣3m2+3mk=0,
∵△=(2m+k)2﹣4(﹣3m2+3mk)=0,
∴k=4m,
∴一次函數(shù)y=kx+b表示為y=4mx﹣12m2,
設直線y=kx+b平移后的解析式為y=4mx+n,
把M(m,﹣4m2)代入得﹣4m2=﹣4m2+n,解得n=﹣8m2,
即經(jīng)過點D的直線解析式為y=4mx﹣8m2,
當y=0時,4mx﹣8m2=0,解得x=2m,則F(2m,0)
解方程組 得 或 ,則D(5m,12m2)
作AG⊥x軸于E,MG∥x軸,它們相交于點G,如圖2,
∵EF∥MG,
∴ = = =3.
【解析】(1)把m=1代入得到拋物線的解析式,然后利用配方法可求得點M的坐標,接下來,令y=0可求得對應的x的值,從而可得到點A和點B的坐標;
(2)設P(t,t2﹣2t﹣3),Q(1,a),作PH⊥直線x=1于點H,首先證明△PQH≌△QAN,依據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得到QH=AN,PH=QN,從而可得到關(guān)于a、t的方程組,解方程組可求得點P的坐標;
(3)作AG⊥x軸于E,MG∥x軸,它們相交于點G,利用配方法求得拋物線的頂點坐標為M(m,﹣4m2),然后令y=0可求得B(3m,0),把B(3m,0)代入y=kx+b得3mk+b=0,求得b的值,從而得直線的解析式為y=kx﹣3mk,接下來,將y=kx﹣3mk代入拋物線的解析式,得到關(guān)于x的方程,然后由一次函數(shù)y=kx﹣3mk與拋物線只有一個公共點可得到△=0,從而可得到k與m的關(guān)系,設直線y=kx+b平移后的解析式為y=4mx+n,把點M的坐標代入可得到n=﹣8m2,則經(jīng)過點D的直線解析式為y=4mx﹣8m2,然后再求得點F的坐標,解方程組可求得點D的坐標,最后,依據(jù)平行線分線段成比例定理求解即可.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系中,,,且滿足方程組,連接,.
(1)求的面積;
(2)動點從點出發(fā),以每秒個單位長度的速度沿軸向左運動,連接,設點運動的時間為秒, 的面積為, 試用含的式子表示;
(3)在的條件下,點,點是上一點,連接,點在延長線上,且,連接, 當點在軸負半軸上,,, 四邊形的面積與的面積比為時,求此時值和點的坐標.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某書店老板去圖書批發(fā)市場購買某種圖書,第一次用1200元購書若干本,并按該書定價7元出售,很快售完.由于該書暢銷,第二次購書時,每本書的批發(fā)價已比第一次提高了20%,他用1500元所購該書的數(shù)量比第一次多10本,當按定價售出200本時,出現(xiàn)滯銷,便以定價的4折售完剩余的書.
(1)第一次購書的進價是多少元?
(2)試問該老板這兩次售書總體上是賠錢了,還是賺錢了(不考慮其他因素)?若賠錢,賠多少;若賺錢,賺多少?
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【題目】因為,所以.這說明能被整除,同時也說明多項式有一個因式為;另外,當多項式的值為.閱讀上述材料回答問題:
(1)由可知,當_時,多項式的值為;
(2)一般地,如果一個關(guān)于字母的多項式當時,的值為,那么與代數(shù)式之間有一定的關(guān)系,這種關(guān)系是:_____;
(3)已知關(guān)于的多項式能被整除,試求的值.
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【題目】下列各式中,運算結(jié)果正確的是( )
A.(﹣1)3+(﹣3.14)0+2﹣1=﹣
B.2x﹣2=
C. =﹣4
D.a2a3=a5
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【題目】四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,點E為AD上一點,連接AC,CB,∠B=∠AEC.
(1)如圖1,求證:CE=CD;
(2)如圖2,若∠B+∠CAE=120°,∠ACD=2∠BAC,求∠BAD的度數(shù);
(3)如圖3,在(2)的條件下,延長CE交⊙O于點G,若tan∠BAC= ,EG=2,求AE的長.
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【題目】已知△ABC為等邊三角形,點D為直線BC上一動點(點D不與點B,點C重合)。以AD為邊作等邊三角形ADE,連接CE。
(1)如圖(1),當點D在邊BC上時。
①求證:△ABD≌△ACE;
②直接判斷結(jié)論BC=DC+CE是否成立(不需證明);
(2)如圖2,當點D在邊BC的延長線上時,其他條件不變,請寫出BC,DC,CE之間存在的數(shù)量關(guān)系,并寫出證明過程。
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