Question

已知拋物線y=-mx²+mx+n與y軸交于點C，與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左邊），且AB=5．
（1）請你寫出一個對于任意m，n值（滿足題意）都成立的結論，并說明理由；
（2）求A、B兩點的坐標；
（3）設點B關于點A的對稱點為B′，問：是否存在△BCB′為等腰三角形的情形？若存在，請求出所有滿足條件的n值；若不存在，請直接作出否定的判斷，不必說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據二次函數解析式，所寫結論與m、n值無關即可，例如拋物線的對稱軸；
（2）把函數解析式整理成頂點式形式，然后根據對稱軸與AB的長度確定出點A、B到對稱軸的距離，從而得解；
（3）先求出點B′、C的坐標，然后判斷出B′O＞BO，可得CB′≠CB，再分CB′=CB與BB′=B′C兩種情況利用勾股定理列式進行計算即可得解．

解答：解：（1）拋物線的對稱軸為x=-

m

2•(-m)

=

1

2

（答案不唯一）；

（2）拋物線為y=-mx²+mx+n=-m（x²-x+

1

4

）+n+

1

4

=-m（x-

1

2

）²+n+

1

4

，
所以，對稱軸為x=

1

2

，
∵AB=5，
∴點A、點B到對稱軸的距離為

5

2

，
∴B（3，0），A（-2，0）；

（3）存在△BCB′為等腰三角形的情形．
由已知得B′（-7，0），C（0，n）且C為y軸上的點，B′O＞BO，
則不可能有CB′=CB的情況，因此存在下面兩種情況：
①若BB′=BC，則有10=

32+n2

，則有n=±

91

；
②若BB′=B′C，則有10=

n2+72

，則有n=±

51

；
所以，當n值為±

91

或±

51

時，存在滿足上述條件的點．

點評：本題是二次函數綜合題型，主要考查了二次函數的性質，二次函數的對稱性，等腰三角形的性質，（1）關鍵在于所寫結論與m、n值無關，（3）要根據等腰三角形腰長的不同分情況討論．