【題目】如圖,平面直角坐標(biāo)系中,O為菱形ABCD的對稱中心,已知C(2,0),D(0,﹣1),N為線段CD上一點(diǎn)(不與C、D重合).
(1)求以C為頂點(diǎn),且經(jīng)過點(diǎn)D的拋物線解析式;
(2)設(shè)N關(guān)于BD的對稱點(diǎn)為N1,N關(guān)于BC的對稱點(diǎn)為N2,求證:△N1BN2∽△ABC;
(3)求(2)中N1N2的最小值;
(4)過點(diǎn)N作y軸的平行線交(1)中的拋物線于點(diǎn)P,點(diǎn)Q為直線AB上的一個動點(diǎn),且∠PQA=∠BAC,求當(dāng)PQ最小時(shí)點(diǎn)Q坐標(biāo).
【答案】(1)y=﹣(x﹣2)2
(2)△ABC∽△N1BN2
(3)
(4)
【解析】
試題分析:(1)用待定系數(shù)法求,即可;
(2)由對稱的特點(diǎn)得出∠N1BN2=2∠DBC結(jié)合菱形的性質(zhì)即可;
(3)先判定出,當(dāng)BN⊥CD時(shí),BN最短,再利用△ABC∽△N1BN2得到比例式,求解,即可;
(4)先建立PE=m2﹣m+2函數(shù)解析式,根據(jù)拋物線的特點(diǎn)確定出最小值.
試題解析:(1)由已知,設(shè)拋物線解析式為y=a(x﹣2)2
把D(0,﹣1)代入,得a=﹣
∴y=﹣(x﹣2)2
(2)如圖1,連結(jié)BN.
∵N1,N2是N的對稱點(diǎn)
∴BN1=BN2=BN,∠N1BD=∠NBD,∠NBC=∠N2BC
∴∠N1BN2=2∠DBC
∵四邊形ABCD是菱形
∴AB=BC,∠ABC=2∠DBC
∴∠ABC=∠N1BN2,
∴△ABC∽△N1BN2
(3)∵點(diǎn)N是CD上的動點(diǎn),
∴點(diǎn)到直線的距離,垂線段最短,
∴當(dāng)BN⊥CD時(shí),BN最短.
∵C(2,0),D(0,﹣1)
∴CD=,
∴BNmin=,
∴BN1min=BNmin=,
∵△ABC∽△N1BN2
∴,
N1N2min=,
(4)如圖2,
過點(diǎn)P作PE⊥x軸,交AB于點(diǎn)E.
∵∠PQA=∠BAC
∴PQ1∥AC
∵菱形ABCD中,C(2,0),D(0,﹣1)
∴A(﹣2,0),B(0,1)
∴l(xiāng)AB:Y=x+1
不妨設(shè)P(m,﹣(m﹣2)2),則E(m, m+1)
∴PE=m2﹣m+2
∴當(dāng)m=1時(shí),
此時(shí),PQ1最小,最小值為=,
∴PQ1=PQ2=.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知AB∥CD,EF∥MN,∠1=115°,
(1)求∠2和∠4的度數(shù);
(2)本題隱含著一個規(guī)律,請你根據(jù)(1)的結(jié)果進(jìn)行歸納:如果一個角的兩邊分別平行于另一個角的兩邊,那么這兩個角___________;
(3)利用(2)的結(jié)論解答:如果兩個角的兩邊分別平行,其中一個角是另一個角的兩倍,求這兩個角的大小.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中, △ABC三個頂點(diǎn)的位置如圖(每個小正方形的邊長均為1).
(1)請畫出△ABC沿x軸向右平移3個單位長度,再沿y軸向上平移2個單位長度后的△A′B′C′(其中A′、B′、C′分別是A、B、C的對應(yīng)點(diǎn),不寫畫法)
(2)直接寫出A′、B′、C′三點(diǎn)的坐標(biāo):
A′(___________); B′(___________);C′(___________)。
(3)求△ABC的面積。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列語句中正確的是( )
A. 圓周角的度數(shù)等于它所對弧的度數(shù)的一半 B. 三點(diǎn)確定一個圓
C. 圓有四條對稱軸 D. 各邊相等的多邊形是正多邊形
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知y1=-2x+1,y2=x2-2,則當(dāng)y1與y2是相等的正數(shù)時(shí),x的值為________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,⊙O中,點(diǎn)A為中點(diǎn),BD為直徑,過A作AP∥BC交DB的延長線于點(diǎn)P.
(1)求證:PA是⊙O的切線;
(2)若,AB=6,求sin∠ABD的值.
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