Question

【題目】如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，拋物線的對稱軸與軸交于點(diǎn).

（1）求拋物線的函數(shù)解析式；

（2）設(shè)點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)的值最小時(shí)，求的長；

（3）在直線上是否存在點(diǎn)，使以，，為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1） （2） （3）存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或，理由見解析

【解析】

（1）由題意先求得C（0，3）．設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3），將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入可求得a的值即可；

（2）由題意依據(jù)軸對稱圖形的性質(zhì)可知PA=PB，則PA+PC=PB+PC，則當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，PC+AP有最小值，PA+PC的最小值=BC，接下來，依據(jù)勾股定理求解即可；

（3）根據(jù)題意設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，m），則QM=|m|，然后依據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得到∠OQM=∠CAO或∠OQM=∠ACO，然后依據(jù)相似三角形的性質(zhì)列比例求解即可．

解：(1)把代入拋物線中，得

設(shè)拋物線的解析式為

將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得

解得

拋物線的解析式為.

（2）如圖所示：

點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對稱，點(diǎn)在直線上

兩點(diǎn)之間線段最短

當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，有最小值，

的最小值即為

，

的最小值為.

（3）拋物線的對稱軸為直線

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則

以，，為頂點(diǎn)的三角形與相似，

或

當(dāng)時(shí)，

即，解得

點(diǎn)的坐標(biāo)為或

當(dāng)時(shí)，

即，解得

點(diǎn)的坐標(biāo)為或

綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或.