Question

《勾股圓方圖》是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形（如圖（1））．設(shè)每個(gè)直角三角形中較短直角邊為a，較長(zhǎng)直角邊為b，斜邊為c
（1）利用圖（1）面積的不同表示方法驗(yàn)證勾股定理．
（2）實(shí)際上還有很多代數(shù)恒等式也可用這種方法說(shuō)明其正確性．試寫(xiě)出圖（2）所表示的代數(shù)恒等式：

 

；
（3）如果圖（1）大正方形的面積是13，小正方形的面積是1，求（a+b）²的值．

Answer 1

分析：（1）如圖（1），根據(jù)四個(gè)全等的直角三角形的面積+陰影部分小正方形的面積=大正方形的面積，代入數(shù)值，即可證明；
（2）5個(gè)矩形，長(zhǎng)寬分別為x，y；兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為y的正方形和兩個(gè)邊長(zhǎng)為x的正方形，可以看成一個(gè)長(zhǎng)寬為x+2y，2x+y的矩形；
（3）利用（1）的結(jié)論進(jìn)行解答．

解答：解：（1）圖（1）中的大正方形的面積可以表示為c²，也可表示為（b-a）²+4×

1

2

ab
∴（b-a）²+4×

1

2

ab=c² 
化簡(jiǎn)得b²-2ab+b²+2ab=c²
∴當(dāng)∠C=90°時(shí)，a²+b²=c²；

（2）（x+y）（x+2y）=x²+3xy+2y²
故填：（x+y）（x+2y）=x²+3xy+2y²


（3）依題意得

a2+b2=c2=13 (b-a)2=1

則2ab=12
∴（a+b）²=a²+b²+2ab=13+12=25，即（a+b）²=25．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理的證明．求面積時(shí)，利用了“分割法”．