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(2013•永安市質檢)在一張長方形ABCD紙張中,AB=25cm,AD=20cm,現將這張紙片按下列圖示方法折疊,請解決下列問題?(1)如圖1,折痕為DE,點A的對應點F在CD上,則折痕DE的長為
20
2
20
2
cm;
(2)如圖2,H、G分別為BC、AD的中點,點A的對應點F在HG上,折痕為DE,求重疊部分(△DEF)的面積;
(3)如圖3,在圖2中,把長方形ABCD沿著HG剪開,變成兩張長方形紙片,將這兩張紙按圖形位置任意疊合后,發(fā)現重疊部分都是菱形,顯然,這些菱形中周長最短是40cm.是否存在疊后周長最大的菱形?若存在,請求出疊合后周長最大的菱形的周長和面積;若不存在,請說明理由.
分析:(1)根據圖形折疊的性質可知AD=AE=20cm,再根據勾股定理即可得出結論;
(2)由折疊的性質可得到DG=
1
2
AD=
1
2
DE,再根據直角三角形的性質得出∠EDA=30°,由銳角三角函數的定義得到AE的長,利用三角形的面積公式即可得出結論;
(3)設GK=x,則HK=25-x,利用勾股定理即可求出x的值,進而可得出菱形的周長求出其面積.
解答:解:(1)∵四邊形ADFE是正方形,
∴DE=
AD2+AE2
=
202+202
=20
2
(cm);
故答案為:20
2
;

(2)由折疊的性質可知,AD=DF,
∵GH分別是AD、BC的中點,
∴GD=
1
2
AD=
1
2
DF
∴在Rt△DGE中,∠GFD=30°,∠GDF=60°,
∵∠GDE=∠EDF,
∴∠EDA=30°.
∴在Rt△ADE中,tan∠EDA=
AE
AD

∴AE=AD•tan30°=
20
3
3

∴S△DEF=
1
2
AE•AD=
1
2
×20×
20
3
3
=
200
3
3
;

(3)最大的菱形如圖所示:
設GK=x,則HK=25-x,
x2=(25-x)2+102
解得x=
29
2
,
則菱形的周長為58cm,
此時菱形的面積S=
29
2
×10=145.
點評:本題考查的是圖形的翻折變換、菱形及矩形的性質、三角形的面積公式,熟知圖形翻折變換的性質是解答此題的關鍵.
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