Question

【題目】在正方形ABCD中，點(diǎn)M是射線BC上一點(diǎn)，點(diǎn)N是CD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且BM=DN．直線BD與MN相交于E．

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)M在BC上時(shí)，求證：BD－2DE=BM；

（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)M在BC延長(zhǎng)線上時(shí)，BD、DE、BM之間滿足的關(guān)系式是什么？；

（3）在（2）的條件下，連接BN交AD于點(diǎn)F，連接MF交BD于點(diǎn)G．若DE=，且AF：FD=1：2時(shí)，求線段DG的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見試題解析；（2）BD+2DE=BM；（3）．

【解析】

試題（1）過點(diǎn)M作MF⊥BC交BD于點(diǎn)F，推出FM=DN，根據(jù)AAS證△EFM和△EDN全等，推出DE=EF，根據(jù)正方形的性質(zhì)和勾股定理求出即可；

（2）過點(diǎn)M作MF⊥BC交BD于點(diǎn)F，推出FM=DN，根據(jù)AAS證△EFM和△EDN全等，推出DE=EF，根據(jù)正方形的性質(zhì)和勾股定理求出即可；

（3）根據(jù)已知求出CM的長(zhǎng)，證△ABF∽△DNF，得出比例式，代入后求出CD長(zhǎng)，求出FM長(zhǎng)即可．

試題解析：（1）過點(diǎn)M作MF⊥BC交BD于點(diǎn)F，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠C=90°，∴FM∥CD，∴∠NDE=∠MFE，∴FM=BM，∵BM=DN，∴FM=DN，在△EFM和△EDN中，∵∠NDE=∠MFE，∠NED=∠MEF，DN=FM，∴△EFM≌△EDN，∴EF=ED，∴BD﹣2DE=BF，根據(jù)勾股定理得：BF=BM，即BD﹣2DE=BM；

（2）過點(diǎn)M作MF⊥BC交BD于點(diǎn)F，與（1）證法類似：BD+2DE=BF=BM，故答案為：BD+2DE=BM；

（3）由（2）知，BD+2DE=BM，BD=BC，∵DE=，∴CM=2，∵AB∥CD，∴△ABF∽△DNF，∴AF：FD=AB：ND，∵AF：FD=1：2，∴AB：ND=1：2，∴CD：ND=1：2，CD：（CD+2）=1：2，∴CD=2，∴FD=，∴FD：BM=1：3，∴DG：BG=1：3，∴DG=．