Question

【題目】已知：在中，，點為邊的中點，點在上，連接并延長到點，使，點在線段上，且.

（1）如圖1，連接，當時，求證：

（2）如圖2，當時，則線段之間的數(shù)量關(guān)系為 ；

（3）在（2）的條件下，延長到，使，連接，若，，求證：，并求的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）

【解析】

（1）連接，利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)得到，，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)求得，根據(jù)題意判定，然后利用相似三角形的性質(zhì)求解；（2）由題意判定△ABC為等邊三角形，然后利用含30°的直角三角形的性質(zhì)得到BD=DC=AB，再根據(jù)題意利用角角定理判定△ABE∽△DBM，相似比為2，故有AE=2DM，進而確定出AE與DM的關(guān)系；（3）根據(jù)題意判定為等邊三角形，從而求證，然后利用正弦值的定義列式求解即可.

解：（1）證明：如圖1連接

且點為邊的中點

∴，

又

，

即，

，

，

，

圖1

（2）如圖2，連接AD

∵AB=AC，，

∴△ABC是等邊三角形，

又∵D為BC的中點，

∴AD⊥BC，∠DAC=30°，BD=DC=AB，

∵，，

∴△ABE∽△DBM，

∴

即AE=2DM；

（3）解：如圖3，連接，

又

為等邊三角形.

在中，，，則

的值為：

圖3