Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠BAC＝60°，D是AB上一點(diǎn)，AC＝BD，P是CD中點(diǎn)．求證：AP＝BC．

Answer 1

【答案】詳見(jiàn)解析．

【解析】

作輔助線，構(gòu)建全等三角形和平行四邊形，先證明四邊形ACFD是平行四邊形，得DF＝AC＝BD，DF∥AC，再證明△BDF是等邊三角形，證明△ABC≌△BAF（SAS），可得結(jié)論．

證明：延長(zhǎng)AP至點(diǎn)F，使得PF＝AP，連結(jié)BF，DF，CF，

∵P是CD中點(diǎn)，

∴CP＝DP，

∴四邊形ACFD是平行四邊形，

∴DF＝AC＝BD，DF∥AC，

∴∠FDB＝∠BAC＝60°，

∴△BDF是等邊三角形，

∴BF＝DF＝AC，∠ABF＝60°，

∴∠ABF＝∠BAC，

在△ABC和△BAF中，

∵，

∴△ABC≌△BAF（SAS），

∴AF＝BC，

∴AP＝AF＝BC．