Question

已知：如圖，拋物線與x軸交于點A，點B，與直線相交于點B，點C，直線與y軸交于點E．
（1）求△ABC的面積；
（2）若點M在線段AB上以每秒1個單位長度的速度從A向B運動（不與A，B重合），同時，點N在射線BC上以每秒2個單位長度的速度從B向C運動，設運動時間為t秒，請寫出△MNB的面積S與t的函數(shù)關系式，并求出點M運動多少時間時，△MNB的面積最大，最大面積是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）令y=0代入y=-x²+3求出點A，B的坐標．把B點坐標代入y=-x+b求出BC的解析式，聯(lián)立方程組求出B．C的坐標．求出AB，CD的長后可求出三角形ABC的面積．
（2）過N點作NP⊥MB，證明△BNP∽△BEO，由已知令y=0求出點E的坐標，利用線段比求出NP，BE的長．求出S與t的函數(shù)關系式后利用二次函數(shù)的性質求出S的最大值．
解答：解：（1）在y=-x²+3中，令y=0，
∴-x²+3=0，
∴x₁=2，x₂=-2，
∴A（-2，0），B（2，0），
又點B在y=-x+b上
∴0=-+b，b=，
∴BC的解析式為y=-x+．
由，
得，．
∴C（-1，），B（2，0），
∴AB=4，CD=，
∴S△ABC=×4×=．

（2）
過點N作NP⊥MB于點P
∵EO⊥MB，
∴NP∥EO，
∴△BNP∽△BEO，
∴=，
由直線y=-x+可得：E（0，）
∴在△BEO中，BO=2，EO=，則BE=
∴=，
∴NP=t，
∴S=×t×（4-t）
=-t²+t
=-（t-2）²+，（0＜t＜4）
∵此拋物線開口向下，
∴當t=2時，S_最大=，
∴當點M運動2秒時，△MNB的面積達到最大，最大為．
點評：此題主要考查了二次函數(shù)圖象與應用相結合的綜合題以及三角形面積的計算方法和相似三角形的判定與性質，利用兩函數(shù)聯(lián)立得出B，C坐標是解題關鍵．