【題目】如圖,點A(1,0),B(0, )分別在x軸和y軸上,以線段AB為直角邊在第一象限內(nèi)作Rt△ABC,且使∠ABC=30°.
(1)求直線AB的解析式及點C的坐標;
(2)若點P(m, )為坐標平面內(nèi)一點,使得△APB與△ABC面積相等,求m的值.
【答案】(1)y=x+,點C(2, );(2)m=或.
【解析】試題分析:
(1) 根據(jù)一次函數(shù)的一般形式,利用點A和點B的坐標,可以獲得關于一般形式中待定系數(shù)的方程,求解這些方程即可確定直線AB的解析式. 要求點C的坐標,可以過點C作x軸的垂線CD,只要求得線段OD和CD的長即可. 由于已知線段OA的長,所以實際上只需要獲得線段AD和CD的長. 利用已知條件可以求得線段AB的長和∠OAB的值,進而可以得到線段AC的長和∠CAD的值,利用Rt△CAD中的幾何關系即可求得線段AD和CD的長.
(2) 根據(jù)點P坐標的特征和線段OB的長,可以確定點P在OB的垂直平分線上. 根據(jù)第(1)小題求得的線段長度易知△ABC的面積,也就得到了△APB的面積. 利用OB的垂直平分線將△APB的面積分割為兩部分進行計算,不難獲得△APB的面積與點P和線段AB的中點F的距離PF的關系式,進而可以求得線段PF的長. 通過兩點之間距離的表達式可以求得點P的坐標,從而獲得m的值.
試題解析:
(1)
如圖,過點C作CD⊥OA,垂足為D.
設直線AB的解析式為y=kx+b (k≠0).
將點A的坐標(1, 0)與點B的坐標(0, )代入該直線的解析式,得
,
解之,得
.
∴直線AB的解析式為.
∵點A的坐標是(1, 0),點B的坐標是(0, ),
∴OA=1,OB=,
∴在Rt△AOB中, .
∵在Rt△ABC,∠ABC=30°,
∴,
∵在Rt△ABC中,AB2=BC2-AC2=(2AC)2-AC2=3AC2=22=4,
∴AC=.
∵在Rt△AOB中, ,
∴∠OBA=30°,
∴在Rt△AOB中,∠OAB=90°-∠OBA=60°,
∵∠BAC=90°,
∴∠CAD=180°-∠BAC-∠OAB=180°-90°-60°=30°.
∴在Rt△CAD中, ,
,
∴OD=OA+AD=1+1=2.
∴點C的坐標為(2, ).
(2)
如圖,作線段OB的垂直平分線MN,交OB于點G,交AB于點F. 過點A作AE⊥MN,垂足為E.
∵OB=,點P的縱坐標為,
∴點P在OB的垂直平分線MN上.
∵Rt△ABC的面積為,
∴△APB的面積為,即△AFP的面積與△BFP的面積之和為,
∴.
∵AE+BG=OB=,
∴,
∴.
∵點F在OB的垂直平分線MN上,
∴,
∴點F的坐標為(, ).
∵點F的坐標為(, ),點P的坐標為(m, ),
∴,
∴或,
∴或,
即m的值為或.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在“全民讀書月”活動中,小明調(diào)查了班級里40名同學本學期計劃購買課外書的花費情況,并將結(jié)果繪制成如圖所示的統(tǒng)計圖,
請根據(jù)相關信息,解答下列問題:(直接填寫結(jié)果)
(1)本次調(diào)本獲取的樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)是____;
(2)這次調(diào)查獲取的樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)是____;
(3)若該校共有學生1000人,根據(jù)樣本數(shù)據(jù),估計本學期計劃購買課外書花費50元的學生有多少人?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】下列式子(1)2x﹣7≥﹣3,(2)﹣x>0,(3)7<9,(4)x2+3x>1,(5)﹣2(a+1)≤1,(6)m﹣n>3,中是一元一次不等式的有( )
A.1個
B.2個
C.3個
D.4個
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】一小球被拋出后,距離地面的高度h(米)和飛行時間t(秒)滿足下面函數(shù)關系式:h=﹣5(t﹣1)2+6,則小球距離地面的最大高度是 .
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,點P是正方形ABCD內(nèi)一點,點P到點A、B和D的距離分別為1,,,△ADP沿點A旋轉(zhuǎn)至△ABP′,連結(jié)PP′,并延長AP與BC相交于點Q.
(1)求證:△APP′是等腰直角三角形;
(2)求∠BPQ的大;
(3)求CQ的長.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某服裝點用6000購進A,B兩種新式服裝,按標價售出后可獲得毛利潤3800元(毛利潤=售價﹣進價),這兩種服裝的進價,標價如表所示.
類型 | A型 | B型 |
進價(元/件) | 60 | 100 |
標價(元/件) | 100 | 160 |
(1)求這兩種服裝各購進的件數(shù);
(2)如果A種服裝按標價的8折出售,B種服裝按標價的7折出售,那么這批服裝全部售完后,服裝店比按標價出售少收入多少元?
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