Question

如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，點E是線段AD上的一個動點(E與A、D不重合)，G、F、H分別是BE、BC、CE的中點．

（1）試探索四邊形EGFH的形狀，并說明理由．

（2）當(dāng)點E運動到什么位置時，四邊形EGFH是菱形?并加以證明．

（3）若（2）中的菱形EGFH是正方形，請?zhí)剿骶�段EF與線段BC的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

 

Answer 1

【答案】

（1）四邊形EGFH是平行四邊形．（2）點E是AD中點時，四邊形EGFH是菱形．（3）EF⊥BC，EF=BC．證明見解析

【解析】（1）證明四邊形EGFH是平行四邊形即可；（2）證明四邊形EGFH是菱形即可；（3）因為四邊形EGFH是正方形，所以EG=EH，∠BEC=90º．因為點G、H分別是BE、CE中點，所以BE=EC．即△BEC為等腰直角三角形．因為點F是BC中點，所以EF⊥BC，EF=BC

（1）四邊形EGFH是平行四邊形．

理由：因為點G、F、H分別是BE、BC、CE中點，所以GF∥EH，GF=EH．所以四邊形EGFH是平行四邊形．

（2）點點E是AD中點時，四邊形EGFH是菱形．

理由：因為四邊形ABCD是等腰梯形，所以AB=CD，∠A=∠D．因為AE=DE，所以△ABE≌△DCE．所以BE=CE．因為點G、H分別是BE、CE中點，所以EG=EH．又由（1）知四邊形EGFH是平行四邊形，所以四邊形EGFH是菱形．

（3）EF⊥BC，EF=BC．

理由：因為四邊形EGFH是正方形，所以EG=EH，∠BEC=90º．因為點G、H分別是BE、CE中點，所以BE=EC．即△BEC為等腰直角三角形．因為點F是BC中點，所以EF⊥BC，EF=BC