Question

如圖，已知△ABC是邊長(zhǎng)為6cm的等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從A、B兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿AB、BC方向勻速運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的速度是1cm／s，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的速度是2cm／s，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，P、Q兩點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng)。設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），解答下列問(wèn)題。

（1）當(dāng)t=2時(shí)，判斷△BPQ的形狀，并說(shuō)明理由；

（2）設(shè)△BPQ的面積為S（cm²），求S與t的函數(shù)關(guān)系式；

（3）作QR∥BA交AC于點(diǎn)R，連接PR，當(dāng)t為何值時(shí)，△APR∽△PRQ?

Answer 1

解：（1）△BPQ是等邊三角形，

當(dāng)t=2時(shí)，AP=2×1=2，BQ=2×2=4。

∴BP=AB－AP=6－2=4。

∴BQ=BP，

又∵∠B=60º，

∴△BPQ是等邊三角形。

（2）過(guò)Q作QE⊥ AB，垂足為E。

由QB=2t，得QE=2t?sin60º=t，

由AP=t，得PB=6－t，

∴。

（3）∵QR∥BA，

∴∠QRC=∠A=60º，∠RQC=∠B=60º。

又∵∠C=60º，

∴△QRC是等邊三角形

∴QR=RC=QC=6－2t。

∵BE=BQ?cos60º=，

∴EP=AB－AP－BE=6－t－t=6－2t。

∴EP∥QR，EP=QR。

∴四邊形EPRQ是平行四邊形，

∴PR=EQ=t。

又∵∠PEQ=90º，

∴∠APR=∠PRQ=90º，

∴△APR∽△PRQ，

∴∠QPR=∠A=60º，

∴，即，

解得

∴當(dāng)時(shí)，△APR∽△PRQ。