【題目】在邊長為的等邊三角形中,邊上任意一點(diǎn),過點(diǎn)分別作,分別為垂足.

(1)求證:不論點(diǎn)邊的何處時(shí)都有的長恰好等于三角形一邊上的高;

(2)當(dāng)的長為何值時(shí),四邊形的面積最大,并求出最大值.

【答案】(1PM+PN=CD21,.

【解析】

試題分析:(1)連接AP,過C作CDAB于D,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AB=AC,根據(jù)三角形的面積公式列方程即可得到結(jié)論;

(2)設(shè)BP=x,則CP=2﹣x,由ABC是等邊三角形,得到B=C=60°,解直角三角形得到BM=x,PM=x,CN=(2﹣x),PN=(2﹣x),根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

試題解析:(1)連接AP,過C作CDAB于D,

∵△ABC是等邊三角形,

AB=AC,

SABC=SABP+SACP,

AB·CD=AB·PM+AC·PN,

PM+PN=CD,

即不論點(diǎn)P在BC邊的何處時(shí)都有PM+PN的長恰好等于三角形ABC一邊上的高;

(2)設(shè)BP=x,則CP=2﹣x,

∵△ABC是等邊三角形,

∴∠B=C=60°,

PMAB,PNAC,

BM=x,PM=x,CN=(2﹣x),PN=(2﹣x),

四邊形AMPN的面積=×(2﹣x)x+ [2﹣(2﹣x)]·(2﹣x)=

當(dāng)BP=1時(shí),四邊形AMPN的面積最大,最大值是

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