【題目】如圖,將矩形ABCD沿AF折疊,使點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)E處,過(guò)點(diǎn)E作EG∥CD交AF于點(diǎn)G,連接DG.給出以下結(jié)論:①DG=DF;②四邊形EFDG是菱形;③EG2=GF×AF;④當(dāng)AG=6,EG=2時(shí),BE的長(zhǎng)為,其中正確的編號(hào)組合是( 。
A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④
【答案】D
【解析】
先依據(jù)翻折的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)證明∠DGF=∠DFG,從而得到GD=DF,接下來(lái)依據(jù)翻折的性質(zhì)可證明DG=GE=DF=EF,連接DE,交AF于點(diǎn)O.由菱形的性質(zhì)可知GF⊥DE,OG=OF=GF,接下來(lái),證明△DOF∽△ADF,由相似三角形的性質(zhì)可證明DF2=FOAF,于是可得到GE、AF、FG的數(shù)量關(guān)系,過(guò)點(diǎn)G作GH⊥DC,垂足為H.利用(2)的結(jié)論可求得FG=4,然后再△ADF中依據(jù)勾股定理可求得AD的長(zhǎng),然后再證明△FGH∽△FAD,利用相似三角形的性質(zhì)可求得GH的長(zhǎng),最后依據(jù)BE=AD-GH求解即可.
解:∵GE∥DF,
∴∠EGF=∠DFG.
∵由翻折的性質(zhì)可知:GD=GE,DF=EF,∠DGF=∠EGF,
∴∠DGF=∠DFG.
∴GD=DF.故①正確;
∴DG=GE=DF=EF.
∴四邊形EFDG為菱形,故②正確;
如圖1所示:連接DE,交AF于點(diǎn)O.
∵四邊形EFDG為菱形,
∴GF⊥DE,OG=OF=GF.
∵∠DOF=∠ADF=90°,∠OFD=∠DFA,
∴△DOF∽△ADF.
∴=,即DF2=FOAF.
∵FO=GF,DF=EG,
∴EG2=GFAF.故③正確;
如圖2所示:過(guò)點(diǎn)G作GH⊥DC,垂足為H.
∵EG2=GFAF,AG=6,EG=2,
∴20=FG(FG+6),整理得:FG2+6FG﹣40=0.
解得:FG=4,FG=﹣10(舍去).
∵DF=GE=2,AF=10,
∴AD==4.
∵GH⊥DC,AD⊥DC,
∴GH∥AD.
∴△FGH∽△FAD.
∴=,即=,
∴GH=,
∴BE=AD﹣GH=4﹣=.故④正確.
故選:D.
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(1)請(qǐng)直接寫出與之間的函數(shù)關(guān)系式和自變量的取值范圍;
(2)將足球紀(jì)念冊(cè)銷售單價(jià)定為多少元時(shí),商店每天銷售紀(jì)念冊(cè)獲得的利潤(rùn)元最大?最大利潤(rùn)是多少元?
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(2)直接寫出△AOB的面積;
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【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,點(diǎn)P、D分別是BC、AC邊上的點(diǎn),且∠APD=∠B.
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