Question

13．已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)分別為（3，0）（0，-3），拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為x=1，D為拋物線 的頂點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式．
（2）拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在一點(diǎn)P，使△PCD為等腰三角形？若存在，寫(xiě)出點(diǎn)P點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由．
（3）點(diǎn)E為線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作x軸的垂線，與拋物線交于點(diǎn)F，求四邊形ACFB面積的最大值，以及此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由B、C的坐標(biāo)，結(jié)合拋物線對(duì)稱(chēng)軸，根據(jù)待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；
（2）由拋物線解析式可求得D點(diǎn)坐標(biāo)，可設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，t），則可表示出PC、PD和CD的長(zhǎng)，由等腰三角形可分PC=PD、PC=CD和PD=CD三種情況分別得到關(guān)于t的方程，可求得P點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）由B、C可求得直線BC解析式，可設(shè)出F點(diǎn)坐標(biāo)，則可表示出E點(diǎn)坐標(biāo)，從而可求得EF的長(zhǎng)，則可表示出△CBF的面積，從而可表示出四邊形ACFB的面積，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值，及E點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答 解：
（1）∵點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)分別為（3，0）（0，-3），拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為x=1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{9a+3b+c=0}\\{c=-3}\\{-\frac{2a}=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=x²-2x-3；
（2）∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴D（1，-4），且C（0，-3），
∵P點(diǎn)為對(duì)稱(chēng)軸上的一點(diǎn)，
∴可設(shè)P（1，t），
∴PC=$\sqrt{{1}^{2}+（t+3）^{2}}$=$\sqrt{{t}^{2}+6t+10}$，PD=|t-4|，CD=$\sqrt{{1}^{2}+（-4+3）^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∵△PCD為等腰三角形，
∴分PC=PD、PC=CD和PD=CD三種情況，
①當(dāng)PC=PD時(shí)，則$\sqrt{{t}^{2}+6t+10}$=|t-4|，解得t=$\frac{3}{7}$，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，$\frac{3}{7}$）；
②當(dāng)PC=CD時(shí)，則$\sqrt{{t}^{2}+6t+10}$=$\sqrt{2}$，解得t=-2或t=-4（與D點(diǎn)重合，舍去），此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-2）；
③當(dāng)PD=CD時(shí)，則|t-4|=$\sqrt{2}$，解得t=4+$\sqrt{2}$或t=4-$\sqrt{2}$，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4+$\sqrt{2}$）或（1，4-$\sqrt{2}$）；
綜上可知存在滿(mǎn)足條件的P點(diǎn)，其坐標(biāo)為（1，$\frac{3}{7}$）或（1，-2）或（1，4+$\sqrt{2}$）或（1，4-$\sqrt{2}$）；
（3）∵B（3，0），C（0，-3），
∴直線BC解析式為y=x-3，

∵E點(diǎn)在直線BC上，F(xiàn)點(diǎn)在拋物線上，
∴設(shè)F（x，x²-2x-3），E（x，x-3），
∵點(diǎn)F在線段BC下方，
∴EF=x-3-（x²-2x-3）=-x²+3x，
∴S_△BCF=$\frac{1}{2}$EF•OB=$\frac{1}{2}$×3（-x²+3x）=-$\frac{3}{2}$x²+$\frac{9}{2}$x=-$\frac{3}{2}$（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$，且S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•OC=$\frac{1}{2}$×4×3=6，
∴S_{四邊形ACFB}=S_△ABC+S_△BCF=-$\frac{3}{2}$（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$+6=-$\frac{3}{2}$（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{75}{8}$，
∵-$\frac{3}{2}$＜0，
∴當(dāng)x=$\frac{3}{2}$時(shí)，S_{四邊形ACFB}有最大值，最大值為$\frac{75}{8}$，此時(shí)E點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，-$\frac{3}{2}$），
綜上可知四邊形ACFB面積的最大值$\frac{75}{8}$，此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，-$\frac{3}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、二次函數(shù)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、三角形的面積、方程思想及分類(lèi)討論思想等知識(shí)．在（1）中注意待定系數(shù)法的應(yīng)用步驟，在（2）中用P點(diǎn)坐標(biāo)表示出PC、PC及CD的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵，注意分三種情況，在（3）中用F點(diǎn)的坐標(biāo)表示出四邊形ACFB的面積是解題的關(guān)鍵．本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度適中．