【題目】已知拋物線y=x2﹣6x+9與直線y=x+3交于A,B兩點(點A在點B的左側(cè)),拋物線的頂點為C,直線y=x+3與x軸交于點D.
(Ⅰ)求拋物線的頂點C的坐標(biāo)及A,B兩點的坐標(biāo);
(Ⅱ)將拋物線y=x2﹣6x+9向上平移1個單位長度,再向左平移t(t>0)個單位長度得到新拋物線,若新拋物線的頂點E在△DAC內(nèi),求t的取值范圍;
(Ⅲ)點P(m,n)(﹣3<m<1)是拋物線y=x2﹣6x+9上一點,當(dāng)△PAB的面積是△ABC面積的2倍時,求m,n的值.
【答案】(I)C(3,0),B(1,4)A(6,9);(II)<t<5;(III)
【解析】分析:(Ⅰ)將拋物線的一般式配方為頂點式即可求出點C的坐標(biāo),聯(lián)立拋物線與直線的解析式即可求出A、B的坐標(biāo).
(Ⅱ)由題意可知:新拋物線的頂點坐標(biāo)為(3﹣t,1),然后求出直線AC的解析式后,將點E的坐標(biāo)分別代入直線AC與AD的解析式中即可求出t的值,從而可知新拋物線的頂點E在△DAC內(nèi),求t的取值范圍.
(Ⅲ)直線AB與y軸交于點F,連接CF,過點P作PM⊥AB于點M,PN⊥x軸于點N,交DB于點G,由直線y=x+3與x軸交于點D,與y軸交于點F,得D(﹣3,0),F(0,3),易得CF⊥AB,△PAB的面積是△ABC面積的2倍,所以ABPM=ABCF,PM=2CF=6,從而可求出PG=12,利用點G在直線y=x+3上,P(m,n),所以G(m,m+3),所以PG=n﹣(m+3),所以n=m+15,由于P(m,n)在拋物線y=x2﹣6x+9上,聯(lián)立方程從而可求出m、n的值.
詳解:(I)∵y=x2﹣6x+9=(x﹣3)2,∴頂點坐標(biāo)為(3,0).
聯(lián)立,
解得:或;
(II)由題意可知:新拋物線的頂點坐標(biāo)為(3﹣t,1),設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b
將A(1,4),C(3,0)代入y=kx+b中,∴,
解得:,
∴直線AC的解析式為y=﹣2x+6.
當(dāng)點E在直線AC上時,﹣2(3﹣t)+6=1,解得:t=.
當(dāng)點E在直線AD上時span>,(3﹣t)+3=1,解得:t=5,
∴當(dāng)點E在△DAC內(nèi)時,<t<5;
(III)如圖,直線AB與y軸交于點F,連接CF,過點P作PM⊥AB于點M,PN⊥x軸于點N,交DB于點G.
由直線y=x+3與x軸交于點D,與y軸交于點F,
得D(﹣3,0),F(0,3),∴OD=OF=3.
∵∠FOD=90°,∴∠OFD=∠ODF=45°.
∵OC=OF=3,∠FOC=90°,
∴CF==3,∠OFC=∠OCF=45°,
∴∠DFC=∠DFO+∠OFC=45°+45°=90°,∴CF⊥AB.
∵△PAB的面積是△ABC面積的2倍,∴ABPM=ABCF,
∴PM=2CF=6.
∵PN⊥x軸,∠FDO=45°,∴∠DGN=45°,∴∠PGM=45°.
在Rt△PGM中,sin∠PGM=, ∴PG===12.
∵點G在直線y=x+3上,P(m,n), ∴G(m,m+3).
∵﹣3<m<1,∴點P在點G的上方,∴PG=n﹣(m+3),∴n=m+15.
∵P(m,n)在拋物線y=x2﹣6x+9上,
∴m2﹣6m+9=n,∴m2﹣6m+9=m+15,解得:m=.
∵﹣3<m<1,∴m=不合題意,舍去,∴m=,∴n=m+15=.
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路程(千米) | 運(yùn)費(fèi)(元/噸千米) | |||
甲庫 | 乙?guī)?/span> | 甲庫 | 乙?guī)?/span> | |
A庫 | 20 | 15 | 12 | 12 |
B庫 | 25 | 20 | 10 | 8 |
若從甲庫運(yùn)往A庫糧食x噸,
(Ⅰ)填空(用含x的代數(shù)式表示):
①從甲庫運(yùn)往B庫糧食 噸;
②從乙?guī)爝\(yùn)往A庫糧食 噸;
③從乙?guī)爝\(yùn)往B庫糧食 噸;
(Ⅱ)寫出將甲、乙兩庫糧食運(yùn)往A、B兩庫的總運(yùn)費(fèi)y(元)與x(噸)的函數(shù)關(guān)系式,并求出當(dāng)從甲、乙兩庫各運(yùn)往A、B兩庫多少噸糧食時,總運(yùn)費(fèi)最省,最省的總運(yùn)費(fèi)是多少?
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