【題目】如圖,長(zhǎng)方形OABC的OA邊在x軸的正半軸上,OC在y軸的正半軸上,拋物線y=ax2+bx經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(1,4)和點(diǎn)E(3,0)兩點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式;

(2)若點(diǎn)D在線段OC上,且BD⊥DE,BD=DE,求D點(diǎn)的坐標(biāo);

(3)在條件(2)下,在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)M,使得△BDM的周長(zhǎng)為最小,并求△BDM周長(zhǎng)的最小值及此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo);

(4)在條件(2)下,從B點(diǎn)到E點(diǎn)這段拋物線的圖象上,是否存在一個(gè)點(diǎn)P,使得△PAD的面積最大?若存在,請(qǐng)求出△PAD面積的最大值及此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)y=2x2+6x;(2)D(0,1);(3)BDM的周長(zhǎng)最小值為,M(,);(4)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,).

【解析】

試題分析:(1)將點(diǎn)B(1,4),E(3,0)的坐標(biāo)代入拋物線的解析式,得到關(guān)于a、b的方程組,求得a、b的值,從而可得到拋物線的解析式;(2)依據(jù)同角的余角相等證明BDC=DE0,然后再依據(jù)AAS證明BDC≌△DEO,從而得到OD=AO=1,于是可求得點(diǎn)D的坐標(biāo);(3)作點(diǎn)B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)B,連接BD交拋物線的對(duì)稱軸與點(diǎn)M.先求得拋物線的對(duì)稱軸方程,從而得到點(diǎn)B的坐標(biāo),由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知當(dāng)點(diǎn)D、M、B在一條直線上時(shí),BMD的周長(zhǎng)有最小值,依據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求得BD和BD的長(zhǎng)度,從而得到三角形的周長(zhǎng)最小值,然后依據(jù)待定系數(shù)法求得D、B的解析式,然后將點(diǎn)M的橫坐標(biāo)代入可求得點(diǎn)M的縱坐標(biāo);(4)過(guò)點(diǎn)F作FGx軸,垂足為G.設(shè)點(diǎn)F(a,2a2+6a),則OG=a,F(xiàn)G=2a2+6a.然后依據(jù)SFDA=S梯形DOGFSODASAGF的三角形的面積與a的函數(shù)關(guān)系式,然后依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

試題解析:(1)將點(diǎn)B(1,4),E(3,0)的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得:

解得:a=-2,b=6,

拋物線的解析式為y=2x2+6x.

(2)如圖1所示;

BDDE,

∴∠BDE=90°

∴∠BDC+EDO=90°

∵∠ODE+DEO=90°,

∴∠BDC=DE0.

BDC和DOE中,,

∴△BDC≌△DEO.

OD=AO=1.

D(0,1).

(3)如圖2所示:作點(diǎn)B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)B,連接BD交拋物線的對(duì)稱軸與點(diǎn)M.

x==,

點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,4).

點(diǎn)B與點(diǎn)B關(guān)于x=對(duì)稱,

MB=BM.

DM+MB=DM+MB

當(dāng)點(diǎn)D、M、B在一條直線上時(shí),MD+MB有最小值(即BMD的周長(zhǎng)有最小值).

由兩點(diǎn)間的距離公式可知:BD=,DB=,

∴△BDM的最小值=

設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b.

將點(diǎn)D、B的坐標(biāo)代入得:

解得:k=,b=1.

直線DB的解析式為y=x+1.

將x=代入得:y=

M().

(4)如圖3所示:過(guò)點(diǎn)F作FGx軸,垂足為G.

設(shè)點(diǎn)F(a,2a2+6a),則OG=a,F(xiàn)G=2a2+6a.

S梯形DOGF=(OD+FG)OG=2a2+6a+1)×a=a3+3a2+a,SODA=ODOA=×1×1=,SAGF=AGFG=a3+4a23a,

SFDA=S梯形DOGFSODASAGF=a2+a

當(dāng)a=時(shí),SFDA的最大值為

點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,).

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】(2x2﹣2y2)﹣3(x2y2+x2)+3(x2y2+y2),其中x=﹣1,y=2.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如果點(diǎn)P(a,b)在第三象限,則點(diǎn)Q(-a,-b)在第________象限.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0時(shí),原方程應(yīng)變形為(
A.(x+1)2=6
B.(x+2)2=9
C.(x﹣1)2=6
D.(x﹣2)2=9

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知數(shù)軸上兩點(diǎn)A、B表示的數(shù)分別為﹣3、1,點(diǎn)P為數(shù)軸上任意一點(diǎn),其表示的數(shù)為x,如果點(diǎn)P到點(diǎn)A、點(diǎn)B的距離之和為6,則x的值是( 。

A. ﹣4 B. 2 C. 4 D. ﹣42

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】用反證法證明四邊形中至少有一個(gè)角是鈍角或直角,應(yīng)先假設(shè)(

A.每一個(gè)角都是鈍角或直角B.有兩個(gè)角是鈍角或直角

C.沒有一個(gè)角是鈍角或直角D.有兩個(gè)或兩個(gè)以上的角是鈍角或直角

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),拋物線y=ax2+2xa+c經(jīng)過(guò)A(﹣4,0),B(0,4)兩點(diǎn),與x軸交于另一點(diǎn)C,直線y=x+5與x軸交于點(diǎn)D,與y軸交于點(diǎn)E.

(1)求拋物線的解析式;

(2)點(diǎn)P是第二象限拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接EP,過(guò)點(diǎn)E作EP的垂線l,在l上截取線段EF,使EF=EP,且點(diǎn)F在第一象限,過(guò)點(diǎn)F作FM⊥x軸于點(diǎn)M,設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t,線段FM的長(zhǎng)度為d,求d與t之間的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫出自變量t的取值范圍);

(3)在(2)的條件下,過(guò)點(diǎn)E作EH⊥ED交MF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,連接DH,點(diǎn)G為DH的中點(diǎn),當(dāng)直線PG經(jīng)過(guò)AC的中點(diǎn)Q時(shí),求點(diǎn)F的坐標(biāo).

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖ΔABC中,∠B =∠CBD=CF,BE=CD∠EDF=α,則下列結(jié)論正確的是( )

A. 2α+∠A=90° B. 2α+∠A=180°

C. α+∠A=90° D. α+∠A=180°

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】下列算式正確的是(  )

A. (﹣14)﹣5=﹣9 B. |6﹣3|=﹣(6﹣3)

C. (﹣3)﹣(﹣3)=﹣6 D. 0﹣(﹣4)=4

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案