Question

【題目】如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，CD⊥BC，已知AB=5，BC=6，cosB=．點(diǎn)O為BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，以O為圓心，BO為半徑的⊙O交邊AB于點(diǎn)P．

（1）設(shè)OB=x，BP=y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出函數(shù)定義域；

（2）當(dāng)⊙O與以點(diǎn)D為圓心，DC為半徑⊙D外切時(shí)，求⊙O的半徑；

（3）連接OD、AC，交于點(diǎn)E，當(dāng)△CEO為等腰三角形時(shí)，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）y=x（0＜x≤）；（2）1.8；（3）當(dāng)△CEO為等腰三角形時(shí)，⊙O的半徑為3或4．

【解析】

（1）首先作OM⊥BD，即可滿(mǎn)足垂徑定理，在直角△OBM中求得BM的長(zhǎng)，即可求得BP；

（2）連接OD．作AN⊥BC，根據(jù)三角函數(shù)即可求得CD的長(zhǎng)，根據(jù)兩圓相外切時(shí)，圓心距等于半徑的和即可得到一個(gè)關(guān)于半徑長(zhǎng)的一個(gè)方程，即可求得半徑長(zhǎng)；

（3）當(dāng)△CEO為等腰三角形時(shí)，利用當(dāng)EO=EC時(shí)，當(dāng)CE=CO時(shí)，分別求得圓的半徑．

（1）作OM⊥BP，

則BP=2BM．

在直角△BMO中，

cosB==．

∴BM=OBcosB=．

則BP=2BM=．

∴函數(shù)的解析式是：y=x（0＜x≤）；

（2）連接OD．作AN⊥BC．

∵在直角△ABN中，cosB==．

∴BN=ABcosB=5×=3．

則AN=CD=4．

在直角△OCD中，OC=BC﹣OB=6﹣x，CD=4．

則OD=．

當(dāng)兩圓相切時(shí)： =x+4

解得：x=1.8；

（3）在Rt△ACD中，AC=5，設(shè)⊙O的半徑為x，

當(dāng)EO=EC時(shí)，∠EOC=∠ACB，

∵AB=AC，

∴∠B=∠ACB，

∴∠B=∠EOC，

∴AB∥OD，

又∵AD∥BC，

∴OB=AD=3，

∴⊙O的半徑為3，

當(dāng)OE=OC時(shí)，∠ECO=∠CEO，

∵AD∥BC，

∴∠DAE=∠ECO，

∵∠AED=∠CEO，∴∠DAE=∠AED，

∴AD=DE=3，

∴OD=OE+DE=6﹣x+3=9﹣x，

在Rt△OCD中，

∵CD2+OC2=OD2，

∴42+（6﹣x）2=（9﹣x）2，

解得：x=（不合題意舍去）

當(dāng)CE=CO時(shí)，∠CEO=∠COE，

∵AD∥BC，

∴∠ADE=∠COE，

∵∠AED=∠CEO，

∴∠AED=∠ADE，

∴AD=AE=3，

∵CE+AE=AC，

∴6﹣x+3=5，

∴x=4，

∴⊙O的半徑為4．

綜上所述，當(dāng)△CEO為等腰三角形時(shí)，⊙O的半徑為3或4．