Question

【題目】如圖，正方形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，延長CB至點F，使CF＝CA，連接AF，∠ACF的平分線分別交AF，AB，BD于點E，N，M，連接EO.

(1)已知EO＝，求正方形ABCD的邊長；

(2)猜想線段EM與CN的數(shù)量關系并加以證明．

Answer 1

【答案】（1）正方形ABCD的邊長為2；（2）EM＝CN，證明詳見解析.

【解析】

（1）根據(jù)等腰三角形和正方形的性質(zhì)求得AC的長度，再在直角三角形ABC利用三角函數(shù)求得AB的長度，即正方形ABCD的邊長。

（2）先證明△EMO，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得.

（1）由題意可知△ACF為等腰三角形，CE為∠ACF的角平分線，所以由等腰三角形的性質(zhì)可知，

CE為線段AF的垂直平分線，E為AF的中點,

又因為點O是AC的中點，

所以EO為△AFC的中位線，

所以OE//CF，且.

因此AC＝CF＝2OE＝2.

因為四邊形ABCD為正方形，

所以∠ACB＝45°.

在RT△ABC中，AB＝AC·sin45°＝2＝2.

故正方形ABCD的邊長為2.

（2）,

證明如下：因為OC＝AC＝，所以EO＝OC，

所以∠OEM＝∠CAN.

根據(jù)正方形的性質(zhì)，得∠NAC＝∠OBC＝45°，

因為OE//CF，

所以∠MOE＝∠OBC，

所以∠MOE＝∠NAC＝45°，

所以△EMO∽△CNA，

故.