Question

【題目】如圖，將拋物線平移后，新拋物線經(jīng)過(guò)原拋物線的頂點(diǎn)，新拋物線與軸正半軸交于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，，設(shè)新拋物線與軸的另一交點(diǎn)是，新拋物線的頂點(diǎn)是.

（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）設(shè)點(diǎn)在新拋物線上，聯(lián)結(jié)，如果平分，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，將拋物線沿軸左右平移，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，當(dāng)和相似時(shí)，請(qǐng)直接寫出平移后得到拋物線的表達(dá)式.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）或

【解析】

（1）設(shè)點(diǎn)D坐標(biāo)（a，b），可得新拋物線解析式為：y=-（x-a）2+b，先求出點(diǎn)C，點(diǎn)B坐標(biāo)，代入解析式可求解；

（2）通過(guò)證明△AOC∽△CHD，可得∠ACO=∠DCH，可證EC∥AO，可得點(diǎn)E縱坐標(biāo)為4，即可求點(diǎn)E坐標(biāo)；

（3）分兩種情況討論，由相似三角形的性質(zhì)可求點(diǎn)F坐標(biāo)，即可求平移后得到拋物線的表達(dá)式．

（1）∵拋物線y=-x2+4的頂點(diǎn)為C，

∴點(diǎn)C（0，4）

∴OC=4，

∵tanB=4=，

∴OB=1，

∴點(diǎn)B（1，0）

設(shè)點(diǎn)D坐標(biāo)（a，b）

∴新拋物線解析式為：y=-（x-a）2+b，且過(guò)點(diǎn)C（0，4），點(diǎn)B（1，0）

∴

解得：

∴點(diǎn)D坐標(biāo)（-1，）

（2）如圖1，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥OC，

∵點(diǎn)D坐標(biāo)（-1，）

∴新拋物線解析式為：y=-（x+1）2+，

當(dāng)y=0時(shí)，0=-（x+1）2+，

∴x1=-3，x2=1，

∴點(diǎn)A（-3，0），

∴AO=3，

∴，

∵點(diǎn)D坐標(biāo)（-1，）

∴DH=1，HO=，

∴CH=OH-OC=，

∴，

∴，且∠AOC=∠DHC=90°，

∴△AOC∽△CHD，

∴∠ACO=∠DCH，

∵CE平分∠ACD，

∴∠ACE=∠DCE，

∴∠ACO+∠ACE=∠DCH+∠DCE，且∠ACO+∠ACE+∠DCH+∠DCE=180°

∴∠ECO=∠ECH=90°=∠AOB，

∴EC∥AO，

∴點(diǎn)E縱坐標(biāo)為4，

∴4=-（x+1）2+，

∴x1=-2，x2=0，

∴點(diǎn)E（-2，4），

（3）如圖2，

∵點(diǎn)E（-2，4），點(diǎn)C（0，4），點(diǎn)A（-3，0），點(diǎn)B（1，0），點(diǎn)D坐標(biāo)（-1，）

∴DE=DC=，，AB=3+1=4，

∴∠DEC=∠DCE，

∵EC∥AB，

∴∠ECA=∠CAB，

∴∠DEC=∠CAB，

∵△DEF和△ABC相似

∴或，

∴或

∴EF=或

∴點(diǎn)F（-，4）或（，4）

設(shè)平移后解析式為：y=-（x+1-c）2+4，

∴4=-（-+1-c）2+4或4=-（+1-c）2+4，

∴c1=，c2=

∴平移后解析式為：y=-（x+）2+4或y=-（x-）2+4，