Question

如圖，已知在正方形ABCD中，P為BC上的一點(diǎn)，E是邊BC延長線上一點(diǎn)，連接AP過點(diǎn)P作PF⊥AP，與∠DCE的平分線CF，相交于點(diǎn)F，連接AF，與邊CD相交于點(diǎn)G，連接PG．
（1）求證：①∠PAB=∠FPC；②AP=FP；
（2）試判斷PB、DG、PC，這三條線段存在怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）①根據(jù)已知條件，由同一個(gè)角的余角相等求證．
②過F作FM⊥BC交延長線于M，根據(jù)線段之間的關(guān)系，證明△ABP≌△PMF，進(jìn)而求證AP=FP．
（2）過F作MN平行于CD，交CE、AD的延長線于點(diǎn)M、N，根據(jù)平行線的性質(zhì)，結(jié)合線段之間的關(guān)系，列方程求解．

解答：解：（1）①∵正方形ABCD，
∴∠B=90°，即∠BAP+∠APB=90°，
∵PF⊥AP，
∴∠APB+∠EPC=90°，
∴∠PAB=∠FPC．
②如圖作FM⊥BC，交延長線與點(diǎn)M．
設(shè)AB=a，F(xiàn)M=b，BP=x，
則CP=a-x，
∵CF平分DCE，
∴CM=FM=b，
∴PM=a-x+b，
∵∠PAB=∠FPC，
∴△ABP∽△PMF，
∴

AB

PM

=

BP

FM

，
∴

a

a-x+b

=

x

b

，
∴

a-x

a-x+b-b

=

x

b

=1，
∴x=b，即FM=BP，
∴△ABP≌△PMF，
∴AP=FP．

（2）

DG

PC

=

BP+PC

2BP+PC

．
證明：如圖，過F作MN平行于CD，交CE、AD的延長線于點(diǎn)M、N，得到矩形CMND，
即

DG

NF

=

AD

AN

，
由（1）②中得出FM=BP=CM=DN，
∵BC=MN，BP=FM，
∴PC=NF，
∴

DG

PC

=

BP+PC

2BP+PC

．

點(diǎn)評：①本題考查了正方形的性質(zhì)，結(jié)合了三角形全等的判定，屬于綜合性比較強(qiáng)的題目，要求有比較扎實(shí)的基礎(chǔ)．
②（2）涉及到探究性試題，解決本類試題要先求解，然后給出結(jié)論，再進(jìn)行證明．