(2008•寶山區(qū)二模)已知∠AOB=45°,P是邊OA上一點(diǎn),OP=4
2
,以點(diǎn)P為圓心畫圓,圓P交OA于點(diǎn)C(點(diǎn)P在O、C之間,如圖).點(diǎn)Q是直線OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連PQ,交圓P于點(diǎn)D,已知,當(dāng)OQ=7時(shí),
PD
DQ
=
2
3

(1)求圓P半徑長;
(2)當(dāng)點(diǎn)Q在射線OB上運(yùn)動(dòng)時(shí),以點(diǎn)Q為圓心,OQ為半徑作圓Q,若圓Q與圓P相切,試求OQ的長度;
(3)連CD并延長交直線OB于點(diǎn)E,是否存在這樣的點(diǎn)Q,使得以O(shè)、C、E為頂點(diǎn)的三角形與△OPQ相似?若存在,試確定Q點(diǎn)的位置;若不存在,試說明理由.
分析:(1)首先過點(diǎn)P作PG⊥OB,垂足為G,由∠AOB=45°,OP=4
2
,根據(jù)勾股定理,即求得PG與OG的值,又由OQ=7,
PD
DQ
=
2
3
,即可求得PD的長;
(2)首先設(shè)OQ=x,根據(jù)勾股定理可得PQ=
x2-8x+32
,然后分別從⊙P與⊙Q外切或外切去分析求解即可求得答案;
(3)首先易得∠POQ=∠COE,∠OPQ=2∠OCE≠∠OCE,可得要使△OPQ與△OCE相似,只可能∠OQP=∠OCE,然后分別從當(dāng)點(diǎn)Q在射線OB上時(shí)與當(dāng)點(diǎn)Q在射線OB的反向延長線上時(shí)去分析求解即可求得答案.
解答:解:(1)過點(diǎn)P作PG⊥OB,垂足為G,
∵∠AOB=45°,OP=4
2
,
∴PG=OG=4.  …(1分)
又∵OQ=7,
∴GQ=3. 
從而PQ=5,…(1分)
PD
DQ
=
2
3

∴PD=2,
即⊙的半徑長為2.…(1分)

(2)設(shè)OQ=x,則PQ=
(x-4)2+42
=
x2-8x+32
.    (1分)
當(dāng)⊙P與⊙Q外切時(shí),
PQ=OQ+2,即
x2-8x+32
=x+2,…(1分)
解得:x=
7
3
.經(jīng)檢驗(yàn)是方程的根,且符合題意,…(1分)
當(dāng)⊙P與⊙Q 內(nèi)切時(shí),
PQ=OQ-2,即
x2-8x+32
=x-2,…(1分)
解得:x=7.經(jīng)檢驗(yàn)是方程的根,且符合題意,…(1分)
所以,當(dāng)OQ的長度為 
7
3
或7時(shí),⊙P與⊙Q相切.

(3)∵∠POQ=∠COE,
∵PC=PD,
∴∠PDC=∠PCD,從而∠OPQ=2∠OCE≠∠OCE,
∴要使△OPQ與△OCE相似,只可能∠OQP=∠OCE,…(1分)
當(dāng)點(diǎn)Q在射線OB上時(shí),
∠OQP=45°,∠OPQ=90°.
∴OQ=8.…(2分)
當(dāng)點(diǎn)Q在射線OB的反向延長線上時(shí),
∠OQP=15°,∠OPQ=30°.
過點(diǎn)Q作QH⊥OP,垂足為H,
則 PH=
3
QH,
設(shè) QH=t,則t+4
2
=
3
t,
解得:t=2
6
+2
2
,
∴OQ=
2
t=4
3
+4.…(2分)
綜上,點(diǎn)Q在射線OB上,且OQ=8時(shí),以O(shè)、C、E為頂點(diǎn)的三角形與△OPQ相似;或者點(diǎn)Q在射線OB的反向延長線上,且OQ=4
3
+4時(shí),以O(shè)、C、E為頂點(diǎn)的三角形與△OPQ相似.
點(diǎn)評:此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、圓與圓的位置關(guān)系等知識(shí).此題綜合性很強(qiáng),難度較大,解題的關(guān)鍵注意方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.
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