Question

18．如圖，等腰△ABC中，AB=AC．
（1）如圖，若點S為△ABC外一點，∠ABC=α，∠ASC+∠ABC=180°，求∠BSC（用含α表示）；
（2）若點M為直線BC上的一點，點M到△ABC的兩腰的距離為9和3，則△ABC一腰上的高為多少？

Answer 1

分析 （1）由∠ASC+∠ABC=180°知A、B、C、S四點共圓，進而根據(jù)圓周角定理有∠CSB=∠BAC，根據(jù)等腰三角形性質可得；
（2）過點B作BH⊥EM、BK⊥AC，證△BHM≌△BFM、四邊形BHEK是矩形，進而BK=EH=ME-MH=ME-MF=6．

解答 解：（1）∵∠ASC+∠ABC=180°，
∴A、B、C、S四點共圓，
∴∠CSB=∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB，
又∵AB=AC，∠ABC=α，
∴∠ABC=∠CAB=α，
∴∠BSC=180°-2α；
（2）如圖，過點B作BH⊥EM，BK⊥AC垂足分別為H、K，

又∵AC⊥EM，AF⊥MF
∴AC∥BH，∠BHM=∠F=90°，
∴∠C=∠HBM，
∵AC=AB，∠ABC=∠FBM，
∴∠C=∠ABC，
∴∠HBM=∠FBM，
在△BHM和△BFM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BHM=∠BFM}\\{∠HBM=∠FBM}\\{BM=BM}\end{array}\right.$，
∴△BHM≌△BFM（AAS），
∴MF=MH，
∵BH⊥ME，BK⊥AC，HE⊥AC，
∴四邊形BHEK是矩形，
又∵ME=9，MF=3，
∴BK=EH=ME-MH=ME-MF=6．

點評 本題主要考查圓周角定理、全等三角形的判定和性質，證明△BHM≌△BFM、四邊形BHEK是矩形是解題關鍵．