【題目】如圖①,點(diǎn)M為銳角三角形ABC內(nèi)任意一點(diǎn),連接AM、BM、CM.以AB為一邊向外作等邊三角形△ABE,將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN,連接EN.
(1)求證:△AMB≌△ENB;
(2)若AM+BM+CM的值最小,則稱點(diǎn)M為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn).若點(diǎn)M為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn),試求此時(shí)∠AMB、∠BMC、∠CMA的度數(shù);
(3)小翔受以上啟發(fā),得到一個(gè)作銳角三角形費(fèi)馬點(diǎn)的簡(jiǎn)便方法:如圖②,分別以△ABC的AB、AC為一邊向外作等邊△ABE和等邊△ACF,連接CE、BF,設(shè)交點(diǎn)為M,則點(diǎn)M即為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn).試說(shuō)明這種作法的依據(jù).
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)∠BMC =120°;∠AMB =120°;∠AMC=120°;(3)線段EC與BF的交點(diǎn)即為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn).
【解析】
(1)結(jié)合等邊三角形的性質(zhì),根據(jù)SAS可證△AMB≌△ENB;
(2)連接MN,由(1)的結(jié)論證明△BMN為等邊三角形,所以BM=MN,即AM+BM+CM=EN+MN+CM,所以當(dāng)E、N、M、C四點(diǎn)共線時(shí),AM+BM+CM的值最小,從而可求此時(shí)∠AMB、∠BMC、∠CMA的度數(shù);
(3)根據(jù)(2)中費(fèi)馬點(diǎn)的定義,又△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)在線段EC上,同理也在線段BF上,因此線段EC和BF的交點(diǎn)即為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn).
(1)證明:∵△ABE為等邊三角形,
∴AB=BE,∠ABE=60°.
而∠MBN=60°,
∴∠ABM=∠EBN.
在△AMB與△ENB中,
∵
∴△AMB≌△ENB(SAS).
(2)連接MN.
由(1)知,AM=EN.
∵∠MBN=60°,BM=BN,
∴△BMN為等邊三角形.
∴BM=MN.
∴AM+BM+CM=EN+MN+CM.
∴當(dāng)E、N、M、C四點(diǎn)共線時(shí),AM+BM+CM的值最。
此時(shí),∠BMC=180°﹣∠NMB=120°;
∠AMB=∠ENB=180°﹣∠BNM=120°;
∠AMC=360°﹣∠BMC﹣∠AMB=120°.
(3)由(2)知,△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)在線段EC上,同理也在線段BF上.
因此線段EC與BF的交點(diǎn)即為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn).
故答案為:(1)見(jiàn)解析;(2)∠BMC =120°;∠AMB =120°;∠AMC=120°;(3)線段EC與BF的交點(diǎn)即為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,菱形ABOC的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn),邊BO在x軸的負(fù)半軸上,∠BOC=60°,頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(m,3 ),反比例函數(shù)y= 的圖象與菱形對(duì)角線AO交D點(diǎn),連接BD,當(dāng)DB⊥x軸時(shí),k的值是( )
A.6
B.﹣6
C.12
D.﹣12
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn),B點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0),與y軸交于點(diǎn)C(0,﹣3)
(1)求拋物線的解析式;
(2)點(diǎn)P在拋物線位于第四象限的部分上運(yùn)動(dòng),當(dāng)四邊形ABPC的面積最大時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo)
(3)直線l經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn),點(diǎn)Q在拋物線位于y軸左側(cè)的部分上運(yùn)動(dòng),直線m經(jīng)過(guò)點(diǎn)B和點(diǎn)Q,是否存在直線m,使得直線l、m與x軸圍成的三角形和直線l、m與y軸圍成的三角形相似?若存在,求出直線m的解析式,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,數(shù)軸上點(diǎn)A、C對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為a、c,且a、c,滿足|a+4|+(c﹣1)2018=0,點(diǎn)O對(duì)應(yīng)的數(shù)為0,點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的數(shù)為﹣3.
(1)求數(shù)a、c的值;
(2)點(diǎn)A,B沿?cái)?shù)軸同時(shí)出發(fā)向右勻速運(yùn)動(dòng),點(diǎn)A速度為2個(gè)單位長(zhǎng)度/秒,點(diǎn)B速度為1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒,幾秒后,點(diǎn)A追上點(diǎn)B;
(3)在(2)的條件下,若運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,當(dāng)A,B兩點(diǎn)到原點(diǎn)O的距離相等時(shí),求t的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,∠1=∠2,CE⊥BD交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.求證:BD=2CE.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在四邊形ABCD中,AC⊥BD,AB=AD,要使四邊形ABCD是菱形,只需添加一個(gè)條件,這個(gè)條件可以是_____(只要填寫(xiě)一種情況).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】?jī)蓚(gè)全等的△ABC和△DEF重疊在一起,固定△ABC,將△DEF進(jìn)行如下變換:
(1)如圖1,△DEF沿直線CB向右平移(即點(diǎn)F在線段CB上移動(dòng)),連接AF、AD、BD,請(qǐng)直接寫(xiě)出S△ABC與S四邊形AFBD的關(guān)系;
(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)F平移到線段BC的中點(diǎn)時(shí),四邊形AFBD是什么特殊四邊形?請(qǐng)給出證明;
(3)當(dāng)點(diǎn)F平移到線段BC的中點(diǎn)時(shí),若四邊形AFBD為正方形,猜想△ABC應(yīng)滿足什么條件?請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)論:在此條件下,將△DEF沿DF折疊,點(diǎn)E落在FA的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)G處,連接CG,請(qǐng)?jiān)趫D3位置畫(huà)出圖形,并求出sin∠CGF的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某食品廠從生產(chǎn)的袋裝食品中抽出樣品20袋,檢測(cè)每袋的質(zhì)量是否符合標(biāo)準(zhǔn),超過(guò)或不足的部分分別用正、負(fù)數(shù)來(lái)表示,記錄如下表:
與標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的差值 | 5 | 2 | 0 | 1 | 3 | 6 |
袋 數(shù) | 1 | 4 | 3 | 4 | 5 | 3 |
(1)這批樣品的平均質(zhì)量比標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量多還是少?多或少幾克?
(2)若每袋標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量為450克,則抽樣檢測(cè)的總質(zhì)量是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知AB∥CD,CE交AB于點(diǎn)F,若∠E=20°,∠C=45°,則∠A的度數(shù)為( 。
A. 5° B. 15° C. 25° D. 35°
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