Question

7．在如圖的直角坐標系中，已知點A（1，0）；B（0，-2），將線段AB繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°至AC．
（1）求點C的坐標；
（2）若拋物線y=$\frac{1}{2}$x²+ax+2經(jīng)過點C．
①求拋物線的解析式；
②在拋物線上是否存在點P（點C除外）使△ABP是以AB為直角邊的等腰直角三角形？若存在，求出所有點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）過點C作CD垂直于x軸，由線段AB繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°至AC，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)得到AB=AC，且∠BAC為直角，可得∠OAB與∠CAD互余，由∠AOB為直角，可得∠OAB與∠ABO互余，根據(jù)同角的余角相等可得一對角相等，再加上一對直角相等，利用ASA可證明三角形ACD與三角形AOB全等，根據(jù)全等三角形的對應邊相等可得AD=OB，CD=OA，由A和B的坐標及位置特點求出OA及OB的長，可得出OD及CD的長，根據(jù)C在第四象限得出C的坐標；
（2）①由已知的拋物線經(jīng)過點C，把第一問求出C的坐標代入拋物線解析式，列出關(guān)于a的方程，求出方程的解得到a的值，確定出拋物線的解析式；
②假設存在點P使△ABP是以AB為直角邊的等腰直角三角形，分三種情況考慮：（i）A為直角頂點，過A作AP₁垂直于AB，且AP₁=AB，過P₁作P₁M垂直于x軸，如圖所示，根據(jù)一對對頂角相等，一對直角相等，AB=AP₁，利用AAS可證明三角形AP₁M與三角形ACD全等，得出AP₁與P₁M的長，再由P₁為第二象限的點，得出此時P₁的坐標，代入拋物線解析式中檢驗滿足；（ii）當B為直角頂點，過B作BP₂垂直于BA，且BP₂=BA，過P₂作P₂N垂直于y軸，如圖所示，同理證明三角形BP₂N與三角形AOB全等，得出P₂N與BN的長，由P₂為第三象限的點，寫出P₂的坐標，代入拋物線解析式中檢驗滿足；（iii）當B為直角頂點，過B作BP₃垂直于BA，且BP₃=BA，如圖所示，過P₃作P₃H垂直于y軸，同理可證明三角形P₃BH全等于三角形AOB，可得出P₃H與BH的長，由P₃為第四象限的點，寫出P₃的坐標，代入拋物線解析式檢驗，不滿足，綜上，得到所有滿足題意的P的坐標．

解答 解：（1）如圖1，過C作CD⊥x軸，垂足為D，

∵BA⊥AC，∴∠OAB+∠CAD=90°，
又∠AOB=90°，∴∠OAB+∠OBA=90°，
∴∠CAD=∠OBA，又AB=AC，∠AOB=∠ADC=90°，
∴△AOB≌△CDA，又A（1，0），B（0，-2），
∴OA=CD=1，OB=AD=2，
∴OD=OA+AD=3，又C為第四象限的點，
∴C的坐標為（3，-1）；
（2）①∵拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+ax+2經(jīng)過點C，且C（3，-1），
∴把C的坐標代入得：-1=-$\frac{9}{2}$+3a+2，解得：a=$\frac{1}{2}$，
則拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x+2；
②存在點P，△ABP是以AB為直角邊的等腰直角三角形，
（i）若以AB為直角邊，點A為直角頂點，
則延長CA至點P₁使得P₁A=CA，得到等腰直角三角形ABP₁，過點P₁作P₁M⊥x軸，如圖2所示，

∵AP₁=CA，∠MAP₁=∠CAD，∠P₁MA=∠CDA=90°，
∴△AMP₁≌△ADC，
∴AM=AD=2，P₁M=CD=1，
∴P₁（-1，1），經(jīng)檢驗點P₁在拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x+2上；
（ii）若以AB為直角邊，點B為直角頂點，則過點B作BP₂⊥BA，且使得BP₂=AB，
得到等腰直角三角形ABP₂，過點P₂作P₂N⊥y軸，如圖3，

同理可證△BP₂N≌△ABO，
∴NP₂=OB=2，BN=OA=1，
∴P₂（-2，-1），經(jīng)檢驗P₂（-2，-1）也在拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x+2上；
（iii）若以AB為直角邊，點B為直角頂點，則過點B作BP₃⊥BA，且使得BP₃=AB，
得到等腰直角三角形ABP₃，過點P₃作P₃H⊥y軸，如圖4，

同理可證△BP₃H≌△BAO，
∴HP₃=OB=2，BH=OA=1，
∴P₃（2，-3），經(jīng)檢驗P₃（2，-3）不在拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x+2上；
則符合條件的點有P₁（-1，1），P₂（-2，-1）兩點．

點評 此題屬于二次函數(shù)的綜合題，涉及的知識有：全等三角形的判定與性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，以及等腰直角三角形的性質(zhì)等知識．此題綜合性強，難度較大，解題的關(guān)鍵是要注意數(shù)形結(jié)合思想、方程思想與分類討論思想的應用．