【題目】用一條直線截三角形的兩邊,若所截得的四邊形對角互補,則稱該直線為三角形第三條邊上的逆平行線.如圖1,DEABC的截線,截得四邊形BCED,若∠BDE+C=180°,則稱DEABCBC的逆平行線.如圖2,已知ABC中,AB=AC,過邊AB上的點DDEBCAC于點E,過點E作邊AB的逆平行線EF,交邊BC于點F

1)求證:DE是邊BC的逆平行線.

2)點OABC的外心,連接CO.求證:COFE

3)已知AB=5BC=6,過點F作邊AC的逆平行線FG,交邊AB于點G

①試探索AD為何值時,四邊形AGFE的面積最大,并求出最大值;

②在①的條件下,比較AD+BG______AB大小關系.(<、>或=”

【答案】1)見解析;(2)見解析;(3)①當AD=,四邊形有最大值,最大值為,②=

【解析】

1)根據(jù)題干條件可證得∠B=∠ACB,則∠BDE+∠B=180°,∠BDE+∠ACB=180°,結論得證;

2)連接AO,證得∠FEC=∠B,由OA=OC可得∠OAC=∠OCA,∠BAO=∠OAC,證出∠FEC+∠ACB=90°,即CO⊥FE;

3由題意設FC=x,則BF=6-x,證△FEC∽△ABC,可得,同理可得,四邊形AGFE的面積可表示為SABC-SEFC-SBFG,利用二次函數(shù)的性質可求出最大值;

知點FBC的中點,連接DF,根據(jù)EFAB邊的逆平行線,可證得DFAC邊的逆平行線,則G點與D點重合,則AD+BG=AB

解:(1)證明:

∵AB=AC,

∴∠B=∠ACB

∵DE∥BC,

∴∠BDE+∠B=180°,∠BDE+∠ACB=180°,

∴DE是邊BC的逆平行線.

2)證明:如圖,連接AO,

∵EF是邊BA的逆平行線,

∴∠AEF+∠B=180°

∵∠AEF+∠FEC=180°,

∴∠FEC=∠B

O△ABC的外心,

∴OA=OC,OA平分∠BAC

∴∠OAC=∠OCA,∠BAO=∠OAC,

∵∠BAO+∠B=90°

∴∠FEC+∠ACB=90°,

∴CO⊥FE.

3FC=x,BF=6-x,S四邊形AGFE=y,

∵∠FEC=∠B,∠FCE=∠ACB,

∴△FEC∽△ABC

,

同理可得SBFG=

∴y=SABC-SEFC-SBFG=12-=-,

x=3時,有AD=,此時y有最大值,最大值為

的條件下CF=BF=3,如圖,連接DF,

∵BF=CF∠B=∠C,BD=CE

∴△BDF≌△CEFSAS),

∴∠BDF=∠CEF,∠BFD=∠EFC,

∴∠BFE=∠DFC,∠AEF=∠ADF

∵∠AEF+∠B=180°,∠A+∠BFE=180°,

∴∠C+∠ADF=180°,∠A+∠DFC=180°

∴FD為邊AC的逆平行線,

由題意可知DG點重合,

∴AD+BG=AB,

故答案為:=

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