Question

如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，對(duì)稱中心為點(diǎn)P，點(diǎn)F為BC邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E在AB邊上，且滿足條件∠EPF=45°，圖中兩塊陰影部分圖形關(guān)于直線AC成軸對(duì)稱，設(shè)它們的面積和為S₁．

（1）求證：∠APE=∠CFP；
（2）設(shè)四邊形CMPF的面積為S₂，CF=x，．
①求y關(guān)于x的函數(shù)解析式和自變量x的取值范圍，并求出y的最大值；
②當(dāng)圖中兩塊陰影部分圖形關(guān)于點(diǎn)P成中心對(duì)稱時(shí)，求y的值．

Answer 1

（1）見解析（2）①y的最大值為1②

解：（1）證明：∵∠EPF=45°，∴∠APE+∠FPC=180°－45°=135°。
而在△PFC中，由于PF為正方形ABCD的對(duì)角線，則∠PCF=45°，
∴∠CFP+∠FPC=180°－45°=135°�！唷螦PE=∠CFP。
（2）①∵∠APE=∠CFP，且∠FCP=∠PAE=45°，∴△APE∽△CPF，∴。
而在正方形ABCD中，邊長為4，AC為對(duì)角線，則。
又∵P為對(duì)稱中心，∴AP=CP=。
∴，即。
如圖，過點(diǎn)P作PH⊥AB于點(diǎn)H，PG⊥BC于點(diǎn)G，

∵P為AC中點(diǎn)，則PH∥BC，且PH=BC=2，同理PG=2。
∴。
∵陰影部分關(guān)于直線AC軸對(duì)稱，
∴△APE與△APN也關(guān)于直線AC對(duì)稱�！�。
∵，∴。
∴。
∵E在AB上運(yùn)動(dòng)，F(xiàn)在BC上運(yùn)動(dòng)，且∠EPF=45°，∴2≤x≤4。
令，則。
∴，當(dāng)，即x=2時(shí)，y取得最大值，最大值為1。
∴y關(guān)于x的函數(shù)解析式為：（2≤x≤4），y的最大值為1。
②圖中兩塊陰影部分圖形關(guān)于點(diǎn)P成中心對(duì)稱，而此兩塊圖形也關(guān)于直線AC成軸對(duì)稱，則陰影部分圖形自身關(guān)于直線BD對(duì)稱，
則EB=BF，即AE=FC，∴=x，解得x=，
代入，得。
（1）利用正方形與三角形的相關(guān)角之間的關(guān)系可以證明結(jié)論。
（2）本問關(guān)鍵是求出y與x之間的函數(shù)解析式。
①首先分別用x表示出S₁與S₂，然后計(jì)算出y與x的函數(shù)解析式．它可轉(zhuǎn)換為一個(gè)二次函數(shù)，應(yīng)用二次函數(shù)最值原理求出其最大值。
②根據(jù)中心對(duì)稱、軸對(duì)稱的幾何性質(zhì)，得AE=FC，據(jù)此列式求解。