Question

在△OAB中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橫、縱軸的單位長度相同，A、B的坐標(biāo)分別為（8，6），（16，0），點(diǎn)P沿OA邊從點(diǎn)O開始向終點(diǎn)A運(yùn)動，速度每秒1個(gè)單位，點(diǎn)Q沿BO邊從B點(diǎn)開始向終點(diǎn)O運(yùn)動，速度每秒2個(gè)單位，如果P、Q同時(shí)出發(fā)，用t（秒）表示移動時(shí)間，當(dāng)這兩點(diǎn)中有一點(diǎn)到達(dá)自己的終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動．
求：（1）幾秒時(shí)PQ∥AB；
（2）設(shè)△OPQ的面積為y，求y與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）△OPQ與△OAB能否相似？若能，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不能，試說明理由．

Answer 1

分析：（1）由兩點(diǎn)間的距離公式求得AO=10，然后根據(jù)平行線PQ∥AB分線段成比例知

OP

OA

=

OQ

OB

，據(jù)此列出關(guān)于t的方程，并解方程；
（2）過P作PC⊥OB，垂足為C，過A作AD⊥OB，垂足為D．構(gòu)造平行線PC∥AQ，根據(jù)平行線分線段成比例及三角形的面積公式求得關(guān)于y與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當(dāng)PQ∥AB時(shí)，得到兩對同位角相等，利用兩對對應(yīng)角相等的兩三角形相似可得△OPQ∽△OAB．然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)：對應(yīng)線段成比例求得點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）由已知得OA=

82+62

=10，
當(dāng)PQ∥AB時(shí)，

OP

OA

=

OQ

OB

，
則：

t

10

=

16-2t

16

，得：t=

40

9

（2）過P作PC⊥OB，垂足為C，過A作AD⊥OB，垂足為D．則

PC

AD

=

OP

OA

，

PC

6

=

t

10

，
∴PC=

3

5

t，y=

1

2

OQ•PC=

1

2

（16-2t）•

3

5

t=-

3

5

t2+

24

5

t；
∴y=-

3

5

t2+

24

5

t；

（3）能相似．
①若PQ∥AB，∴∠OAB=∠OPQ，∠ABO=∠PQO，
∴△OPQ∽△OAB，
∵t=

40

9

，∴OP=

40

9

，
∵

PC

AD

=

OP

OA

=

OC

OD

（其中AD=6，OA=10，OD=8）即

PC

6

=

40 9

10

=

OC

8

，
∴OC=

32

9

，PC=

8

3

，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)是（

32

9

，

8

3

）．
同理，當(dāng)OPQ∽△OBA時(shí)，OC=

512

105

，PC=

128

35

∴P₂（

512

105

，

128

35

）
P點(diǎn)的坐標(biāo)是（

32

9

，

8

3

）或（

512

105

，

128

35

）

點(diǎn)評：本題綜合考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線分線段成比例及勾股定理的應(yīng)用．解答此題的關(guān)鍵是通過作輔助線PC⊥OB，AD⊥OB構(gòu)造平行線PC∥AQ，然后利用平行線分線段成比例來求出相關(guān)線段的長度．