【題目】已知半圓O,點CD在弧AB上,連接AD、BD、CD,∠BDC+2ABD90°.

1)如圖1,求證:DADC

2)如圖2,作OEBD交半圓O于點E,連接AEBD于點F,連接AC,求證:∠DFA=∠DAC+DAE;

3)如圖3,在(2)的條件下,設(shè)ACBD于點G,FG1AG5,求半圓O的半徑.

【答案】1)見解析;(2)見解析;(3

【解析】

1)連接ODOC,根據(jù)同弧所對的圓心角等于圓周角的2倍得到∠BOC+2AOD180°,再根據(jù)∠BOC+AOD+COD180°,即可得到∠AOD=∠COD,由此得到結(jié)論;

2)根據(jù)垂徑定理得到∠DAE=∠EAB,由(1)的結(jié)論可得到∠DBA=∠DAC,再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得到結(jié)論;

3)過點AAMAB,交BD的延長線于點M,連接ODACN,根據(jù)等角對等邊求出AM=AG=5,根據(jù)AB是直徑證得∠MAD=∠ABD,再由∠DAE=∠EAB得到∠MAE=∠MFA,從而求出AMMF5,根據(jù)等腰三角形的三線合一的性質(zhì)求出DM,根據(jù)勾股定理求出AD,再根據(jù)三角函數(shù)求出AB即可得到半徑的長.

證明:(1)如圖1,連接OD,OC,

∵∠BOC2BDC,∠AOD2ABD,∠BDC+2ABD90°,

∴∠BOC+2AOD180°,

∵∠BOC+AOD+COD180°,

∴∠AOD=∠COD,

ADCD

2)如圖2,∵OEBD,

,

∴∠DAE=∠EAB,

ADCD

∴∠DAC=∠C,且∠DBA=∠C

∴∠DBA=∠DAC,

∴∠DFA=∠EAB+DBA=∠DAE+DAC;

3)如圖2,過點AAMAB,交BD的延長線于點M,連接ODACN,

ODOB,

∴∠ABD=∠ODB,

ADCD

ODAC,

∴∠AGD+ODB90°,

∵∠MAB90°,

∴∠ABD+M90°,

∴∠M=∠AGD,

AMAG5,

AB是直徑,

∴∠ADB90°,

∴∠M+MAD90°,

∴∠MAD=∠ABD

∴∠MAD+DAE=∠ABD+EAB,

∴∠MAE=∠MFA,

AMMF5,

MGMF+FG6,

ADMG,

DMDG3

DFDGFG2,

AD4,

∵∠ABD=∠MAD

sinABDsinMAD,

,

,

AB,

OA

∴半圓O的半徑

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組別

分數(shù)x

頻數(shù)

A

40≤x50

20

B

50≤x60

30

C

60≤x70

50

D

70≤x80

m

E

80≤x90

40

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