【題目】綜合與實踐﹣四邊形旋轉中的數(shù)學
“智慧”數(shù)學小組在課外數(shù)學活動中研究了一個問題,請幫他們解答.
任務一:如圖1,在矩形ABCD中,AB=6,AD=8,E,F(xiàn)分別為AB,AD邊的中點,四邊形AEGF為矩形,連接CG.
(1)請直接寫出CG的長是______.
(2)如圖2,當矩形AEGF繞點A旋轉(比如順時針旋轉)至點G落在邊AB上時,請計算DF與CG的長,通過計算,試猜想DF與CG之間的數(shù)量關系.
(3)當矩形AEGF繞點A旋轉至如圖3的位置時,(2)中DF與CG之間的數(shù)量關系是否還成立?請說明理由.
任務二:“智慧”數(shù)學小組對圖形的旋轉進行了拓展研究,如圖4,在ABCD中,∠B=60°,AB=6,AD=8,E,F(xiàn)分別為AB,AD邊的中點,四邊形AEGF為平行四邊形,連接CG.“智慧”數(shù)學小組發(fā)現(xiàn)DF與CG仍然存在著特定的數(shù)量關系.
(4)如圖5,當AEGF繞點A旋轉(比如順時針旋轉),其他條件不變時,“智慧”數(shù)學小組發(fā)現(xiàn)DF與CG仍然存在著這一特定的數(shù)量關系.請你直接寫出這個特定的數(shù)量關系.
【答案】5
【解析】
(1)如圖1中,由此EG交CD于H,則四邊形FGHD是矩形.在Rt△CGH中,利用勾股定理即可解決問題;
(2)如圖2中,作FP⊥AD于P.利用勾股定理相似三角形的性質,分別求出CG、DF即可解決問題;
(3)成立.連接AG、AC.只要證明△ADF∽△ACG,可得 即可解決問題;
(4)在圖4中,通過計算即可解決問題;
(1)如圖1中,由此EG交CD于H,則四邊形FGHD是矩形.
在Rt△CGH中,GH=DF=4,CH=DH=AE=3,
∴CG= =5.
故答案為:5.
(2)如圖2中,作FP⊥AD于P.
在矩形AEGF中,∵AE=3,EG=4,
∴AG=5,BG=AB-AG=1,
在Rt△CBG中,CG= ,
由△APF∽△AEG,可得 ,
∴ ,
∴AP= ,PF= ,DP=AD﹣AP=8﹣,
在Rt△PDF中,DF= ,
∴DF=CG.
(3)成立.理由如下:連接AG、AC.
由旋轉可知:∠DAF=∠CAG,
由勾股定理可知:AC=,AG=5,
∵ ,,
∴,
∴△ADF∽△ACG,
∴,
∴DF=CG.
(4)如圖4中,延長EG交CD于H,作CK⊥GH于K.
由題意可知四邊形FGHD是平行四邊形,四邊形AEGF是平行四邊形,
∴DF=GH=4,DH=FG=AE=3,CH=3,∠CHG=∠D=60°,
在Rt△CHK中,HK=,CK=,GK=GH﹣KH=,
在Rt△CGK中,CG= ,
∴CG=DF.
在圖5中,連接AG、AC.
同法可證:△ACG∽△ADF,可得:=,可得CG=DF.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=BC,∠ABC=90°,點F為AB延長線上一點,點E在BC上,BE=BF,連接AE,EF和CF.
(1)求證:△ABE≌△CBF;
(2)若∠CAE=30°,求∠EFC的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】被譽為“中原第一高樓”的鄭州會展賓館(俗稱“玉米樓”)坐落在風景如畫的如意湖畔,是來鄭州觀光的游客留影的最佳景點.學完了三角函數(shù)知識后,劉明和王華決定用自己學到的知識測量“玉米樓”的高度.如圖,劉明在點C處測得樓頂B的仰角為45°,王華在高臺上的D處測得樓頂?shù)难鼋菫?/span>40°.若高臺DE的高為5米,點D到點C的水平距離EC為47.4米,A,C,E三點共線,求“玉米樓”AB的高度.(參考數(shù)據(jù):sin40°≈0.64,cos40°≈0.77,tan40°≈0.84,結果保留整數(shù))
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】一位運動員在距籃下4m處跳起投籃,球運行的路線是拋物線,當球運行的水平距離是2.5m時,達到最大高度3.5m,然后準確落入籃圈.已知籃圈中心到地面的距離為3.05m.
(1)建立如圖所示的平面直角坐標系,求拋物線的解析式.
(2)該運動員身高1.8m,在這次跳投中,球在頭頂上0.25m處出手,
問:球出手時,他距離地面的高度是多少?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖所示,半圓O的直徑AB=10cm,弦AC=6cm,將半圓沿著過點A的直線折疊,折疊后使得弦AC恰好落在直徑AB上,則折痕AD的長為_______cm.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,AC是ABCD的對角線,點E是邊AD的中點,連接BE交AC于點F,連接CE,DF,若∠BEC=∠BAC=90°,則sin∠DFE的值為_____.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,點P是等邊三角形ABC內(nèi)一點,且PA=3,PB=4, PC=5,若將△APB繞著點B逆時針旋轉后得到△CQB,則∠APB的度數(shù)______.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】2013年某企業(yè)按餐廚垃圾處理費25元/噸,建筑垃圾處理費16元/噸標準,共支付餐廚和建筑垃圾處理費5200元,從2014年元月起,收費標準上調為:餐廚垃圾處理費100元/噸,建筑垃圾處理費30元/噸,若該企業(yè)2014年處理的這兩種垃圾數(shù)量與2013年相比沒有變化,就要多支付垃圾處理費8800元,
(1)該企業(yè)2013年處理的餐廚垃圾和建筑垃圾各多少噸?
(2)該企業(yè)計劃2014年將上述兩種垃圾處理量減少到240噸,且建筑垃圾處理費不超過餐廚垃圾處理量的3倍,則2014年該企業(yè)最少需要支付這兩種垃圾處理費共多少元?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,射線AD,BE,CF構成∠1,∠2,∠3,則∠1+∠2+∠3=( )
A. 180° B. 360° C. 540° D. 無法確定
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