【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線y=x+2與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)C.拋物線y=ax2+bx+c的對(duì)稱軸是x=﹣且經(jīng)過A、C兩點(diǎn),與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)B.
(1)①直接寫出點(diǎn)B的坐標(biāo);②求拋物線解析式.
(2)若點(diǎn)P為直線AC上方的拋物線上的一點(diǎn),連接PA,PC.求△PAC的面積的最大值,并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).
(3)拋物線上是否存在點(diǎn)M,過點(diǎn)M作MN垂直x軸于點(diǎn)N,使得以點(diǎn)A、M、N為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似?若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)①(1,0)②y=-x2-x+2(2)(﹣2,3)(3)存在M1(0,2),M2(﹣3,2),M3(2,﹣3),M4(5,﹣18)
【解析】
試題分析:(1)①先求的直線y=x+2與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo),然后利用拋物線的對(duì)稱性可求得點(diǎn)B的坐標(biāo);②設(shè)拋物線的解析式為y=y=a(x+4)(x﹣1),然后將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入即可求得a的值;
(2)設(shè)點(diǎn)P、Q的橫坐標(biāo)為m,分別求得點(diǎn)P、Q的縱坐標(biāo),從而可得到線段PQ=-m2﹣2m,然后利用三角形的面積公式可求得S△PAC=×PQ×4,然后利用配方法可求得△PAC的面積的最大值以及此時(shí)m的值,從而可求得點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)首先可證明△ABC∽△ACO∽△CBO,然后分以下幾種情況分類討論即可:①當(dāng)M點(diǎn)與C點(diǎn)重合,即M(0,2)時(shí),△MAN∽△BAC;②根據(jù)拋物線的對(duì)稱性,當(dāng)M(﹣3,2)時(shí),△MAN∽△ABC; ④當(dāng)點(diǎn)M在第四象限時(shí),解題時(shí),需要注意相似三角形的對(duì)應(yīng)關(guān)系.
試題解析:(1)①y=x+2
當(dāng)x=0時(shí),y=2,當(dāng)y=0時(shí),x=﹣4,
∴C(0,2),A(﹣4,0),
由拋物線的對(duì)稱性可知:點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于x=﹣對(duì)稱,
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,0).
②∵拋物線y=ax2+bx+c過A(﹣4,0),B(1,0),
∴可設(shè)拋物線解析式為y=a(x+4)(x﹣1),
又∵拋物線過點(diǎn)C(0,2),
∴2=﹣4a
∴a=-
∴y=-x2-x+2.
(2)設(shè)P(m,-m2-m+2).
過點(diǎn)P作PQ⊥x軸交AC于點(diǎn)Q,
∴Q(m,m+2),
∴PQ=-m2-m+2﹣(m+2)
=-m2﹣2m,
∵S△PAC=×PQ×4,
=2PQ=﹣m2﹣4m=﹣(m+2)2+4,
∴當(dāng)m=﹣2時(shí),△PAC的面積有最大值是4,
此時(shí)P(﹣2,3).
(3)在Rt△AOC中,tan∠CAO=在Rt△BOC中,tan∠BCO=,
∴∠CAO=∠BCO,
∵∠BCO+∠OBC=90°,
∴∠CAO+∠OBC=90°,
∴∠ACB=90°,
∴△ABC∽△ACO∽△CBO,
如下圖:
①當(dāng)M點(diǎn)與C點(diǎn)重合,即M(0,2)時(shí),△MAN∽△BAC;
③ 根據(jù)拋物線的對(duì)稱性,當(dāng)M(﹣3,2)時(shí),△MAN∽△ABC;
④ 當(dāng)點(diǎn)M在第四象限時(shí),設(shè)M(n,-n2-n+2),則N(n,0)
∴MN=n2+n﹣2,AN=n+4
當(dāng)時(shí),MN=AN,即n2+n﹣2=(n+4)
整理得:n2+2n﹣8=0
解得:n1=﹣4(舍),n2=2
∴M(2,﹣3);
當(dāng)時(shí),MN=2AN,即n2+n﹣2=2(n+4),
整理得:n2﹣n﹣20=0
解得:n1=﹣4(舍),n2=5,
∴M(5,﹣18).
綜上所述:存在M1(0,2),M2(﹣3,2),M3(2,﹣3),M4(5,﹣18),使得以點(diǎn)A、M、N為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似.
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(1)求反比例函數(shù)和直線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)求△OPQ的面積.
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A. ①②B. ②③C. ②④D. ①④
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(1)﹣9+(+ )﹣(﹣12)+(﹣5)+(﹣ )
(2)(1﹣1 ﹣ + )×(﹣24)
(3)﹣ + ÷(﹣2)×(﹣ )
(4)﹣14﹣(1﹣ )÷3×|3﹣(﹣3)2|
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【題目】如圖,已知正方形OABC的邊OA在y軸的正半軸上,OC在x軸的正半軸上,OA=AB=2,拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A,B,交正x軸于點(diǎn)D,E是OC上的動(dòng)點(diǎn)(不與C重合)連接EB,過B點(diǎn)作BF⊥BE交y軸與F
(1)求b,c的值及D點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)求點(diǎn)E在OC上運(yùn)動(dòng)時(shí),四邊形OEBF的面積有怎樣的規(guī)律性?并證明你的結(jié)論;
(3)連接EF,BD,設(shè)OE=m,△BEF與△BED的面積之差為S,問:當(dāng)m為何值時(shí)S最小,并求出這個(gè)最小值.
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【題目】下列判斷正確的是( 。
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