Question

如圖，△ABC中，∠C=30°，以AB為直徑的圓O經(jīng)過(guò)BC邊上的點(diǎn)D，且∠AOD=120°．
（1）求證：AC是圓O的切線；
（2）若CD=6，點(diǎn)E是半圓上一點(diǎn)，且sin∠BAE=

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4

，求線段AE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）要證明AC是圓O的切線，只要證明∠CAB=90°即可；
（2）根據(jù)已知及三角函數(shù)求出AB的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理求得AE的長(zhǎng)．

解答：（1）∵∠DOA=2∠DBO=120°，
∴∠DBO=60°，
∵∠C=30°，
∴∠CAB=90°，
∴AC是圓O的切線；

（2）∵∠C=30°，
∴2AB=BC=4OB；
∵∠DBO=60°，OD=OB，
∴△ODB為等邊三角形，
∴DB=OB，
∴CD=3OB=6，
∴OB=2，AB=4；
∵AB中直徑
∴∠E=90°
∵sin∠BAE=

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4

，AB=4，
∴BE=1，
∴AE=

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．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是切線的判定，要證某線是圓的切線，已知此線過(guò)圓上某點(diǎn)，連接圓心和這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．