Question

【題目】如圖，已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，．

求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

如圖1，點(diǎn)D是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)D作y軸的平行線DE交直線AB于點(diǎn)E，當(dāng)線段時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出D點(diǎn)的橫坐標(biāo)；

如圖2，當(dāng)D為直線AB上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)時(shí)，于F，設(shè)AC的中點(diǎn)為M，連接BD，BM，是否存在點(diǎn)D，使得中有一個(gè)角與相等？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)D的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）點(diǎn)的橫坐標(biāo)為或或或；（4）存在，D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為或．

【解析】

設(shè)交點(diǎn)式，然后把B點(diǎn)坐標(biāo)代入求出a得到拋物線解析式，然后把解析式

把一般式化為頂點(diǎn)式得到拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

易得直線AB的解析式為，設(shè)，則，利用題意得到，然后解絕對(duì)值方程即可；

若，則，作軸于B，作于H，于G，如圖，證明，再計(jì)算出，則，設(shè)，所以，然后解t的方程得到此時(shí)D點(diǎn)的橫坐標(biāo)若，作軸于拋物線交于另一點(diǎn)，作軸交BD于G，如圖3，則，，同理得，則，所以，接著求出直線BG的解析式為，然后解方程組得D點(diǎn)坐標(biāo)．

解：設(shè)拋物線解析式為，

把代入得，解得，

拋物線解析式為，即；

，

拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為；

易得直線AB的解析式為，

設(shè)，則

，

解方程得，；

解方程得，，

點(diǎn)的橫坐標(biāo)為或或或；

存在．

拋物線的對(duì)稱軸為直線，則，

若，則，

作軸于B，作于H，于G，如圖2，

，

為等腰直角三角形，

，，

，

，

在中，，

，

在中，，

在中，，

，

設(shè)，

整理得，解得舍去，，

點(diǎn)坐標(biāo)為，

若，作軸于拋物線交于另一點(diǎn)，作軸交BD于G，如圖3，則，，

同理得，

，

，

，

易得直線BG的解析式為，

解方程組得或，

點(diǎn)坐標(biāo)為，

綜上所述，D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為或．