Question

如圖，⊙O_l和⊙O₂外切于A，PA是內(nèi)公切線，BC是外公切線，B、C是切點(diǎn)．①PB=AB；②∠PBA=∠PAB；③△PAB∽△O_lAB；④PB•PC=O_lA•O₂A．上述結(jié)論，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）

A．1
B．2
C．3
D．4

Answer 1

【答案】分析：對(duì)①由切線性質(zhì)PB=PA，∠PBA=∠PAB，所以PA≠AB，
對(duì)③由PA是內(nèi)公切線，BC是外公切線所以∠PBO₁=∠PAO₁=90°，則∠O₁+∠APB=180°，
又有∠O₁≠90°所以∠O₁≠∠APB那么△PAB∽△O_lAB不成立．
要證PB•PC=O_lA•O₂A，由PA⊥O_lO₂則PA²=PB•PC，由∠O_lPO₂=90°，則PA^2₌O_lA•O₂A，所以④成立．
解答：解：①∵PA是內(nèi)公切線，BC是外公切線，B、C是切點(diǎn)，
∴∠PBO₁=∠PAO₁=90°，
∵O₁A=O₁B，
∴∠O₁AB=∠O₁BA，
∴90°-∠O₁AB=90°-∠O₁BA，
即∠PBA=∠PAB．
②

連接O₁P，O₂P．
∵PA是內(nèi)公切線，BC是外公切線，B、C是切點(diǎn)，
∴PA=PB=PC，PA⊥O_lO₂．
∴PA²=PB•PC，
∵O₁A=O₁B，PO₁是公共邊，
∴△PBO₁≌△PAO_1，
∴∠PO₁B=∠PO₁A，
同理∠PO₂C=∠PO₂A，
∵∠AO₁B+∠CO₂A=180°．
∴∠PO₁A+∠PO₂A=90°
∴∠O_lPO₂=90°，
∴PA^2₌O_lA•O₂A
∴PB•PC=O_lA•O₂A，
點(diǎn)評(píng)：這道題考查了相切三角形的性質(zhì)，以及全等三角形的判定與性質(zhì)，射影定理等，同學(xué)們應(yīng)該熟練掌握．