Question

如圖，已知AM∥BN，∠A=∠B=90°，AB=4，點D是射線AM上的一個動點（點D與點A不重合），點E是線段AB上的一個動點（點E與點A、B不重合），連接DE，過點E作DE的垂線，交射線BN于點C，連接DC．設(shè)AE=x，BC=y．
（1）當(dāng)AD=1時，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出它的定義域；
（2）在（1）的條件下，取線段DC的中點F，連接EF，若EF=2.5，求AE的長；
（3）如果動點D、E在運動時，始終滿足條件AD+DE=AB，那么請?zhí)骄浚骸鰾CE的周長是否隨著動點D、E的運動而發(fā)生變化？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由△AED∽△BCE，得出其對應(yīng)邊成比例，進而可得出x與y的關(guān)系式；
（2）可過D點作DH⊥BN于H，求出BC的值，即y的值，進而可求解x的值；
（3）△BCE的周長為一定值，由于題中滿足條件AD+DE=AB，且△AED∽△BCE，由于相似三角形的周長比即為其對應(yīng)邊的比，所以可得其周長不變．

解答：解：（1）由題中條件可得△AED∽△BCE，
∴

AD

BE

=

AE

BC

，
∵AE=x，BC=y，AB=4，AD=1
∴BE=4-x，
∴

1

4-x

=

x

y

，
∴y=-x²+4x（0＜x＜4）；

（2）∵DE⊥EC，
∴∠DEC=90°，
又∵DF=FC，
∴DC=2EF=2×2.5=5，
過D點作DH⊥BN于H，則DH=AB=4，
∴Rt△DHC中，HC=

DC2-DH2

=

52-42

=3，
∴BC=BH+HC=1+3=4，即y=4，
∴-x²+4x=4
解得：x₁=x₂=2，
∴AE=2；

（3）△BCE的周長不變．理由如下：C_△AED=AE+DE+AD=4+x，BE=4-x，
設(shè)AD=m，則DE=4-m，
∵∠A=90°，
∴DE²=AE²+AD²即，（4-m）²=x²+m²
∴m=

16-x2

8

，
由（1）知：△AED∽△BCE，
∴

C△ADE

C△BCE

=

AD

BE

=

16-x2 8

4-x

=

4+x

8

∴C△BCE=

8

4+x

•C△ADE=

8

4+x

•(4+x)=8
∴△BCE的周長不變．

點評：本題主要考查了相似三角形的判定及性質(zhì)以及勾股定理的簡單運用，能夠熟練掌握相似三角形的性質(zhì)并加以運用．