Question

如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A（-2，0）、B（4，0）、C（0，4）三點．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）此拋物線有最大值還是最小值？請求出其最大或最小值；
（3）若點D（2，m）在此拋物線上，在y軸的正半軸上是否存在點P，使得△BDP是等腰三角形？若存在，請求出所有符合條件的P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）將A（-2，0）、B（4，0）、C（0，4）代入y=ax²+bx+c，得

4a-2b+c=0 16a+4b+c=0 c=4

，
解得

a=- 1 2 b=1 c=4

．
所以此拋物線的解析式為y=-

1

2

x²+x+4；

（2）∵y=-

1

2

x²+x+4，a=-

1

2

＜0，
∴拋物線有最大值，最大值為

4×(- 1 2 )×4-12

4×(- 1 2 )

=

9

2

；

（3）∵點D（2，m）在拋物線y=-

1

2

x²+x+4上，
∴m=-

1

2

×2²+2+4=4，
∴D（2，4），
∵B（4，0），
∴BD=

(4-2)2+(0-4)2

=2

5

．
假設在y軸的正半軸上存在點P（0，y）（y＞0），使得△BDP是等腰三角形，分三種情況：
①如果PB=PD，那么4²+y²=2²+（y-4）²，解得y=

1

2

，
所以P₁（0，

1

2

）；
②如果BP=BD，那么4²+y²=20，解得y=±2（負值舍去），
所以P₂（0，2）；
③如果DP=DB，那么2²+（y-4）²=20，解得y=0或8，
y=0不合題意舍去，
y=8時，（0，8）與D，B三點共線，不合題意舍去，
所以P₃（0，8）；
綜上可知，所有符合條件的P點的坐標為P₁（0，

1

2

），P₂（0，2）．