Question

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，6），點(diǎn)B坐標(biāo)為(2

3

，2)，BC∥y軸且與x軸交于點(diǎn)C，直線OB與直線AC相交于點(diǎn)P．
（1）求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）若以點(diǎn)O為圓心，OP的長為半徑作⊙O（如圖2），求證：直線AC與⊙O相切于點(diǎn)P；
（3）過點(diǎn)B作BD∥x軸與y軸相交于點(diǎn)D，以點(diǎn)O為圓心，r為半徑作⊙O，使點(diǎn)D在⊙O內(nèi)，點(diǎn)C在⊙O外；以點(diǎn)B為圓心，R為半徑作⊙B，若⊙O與⊙B相切，試分別求出r，R的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設(shè)直線OB的解析式為y=k₁x，可得k1=

3

3

，所以直線OB的解析式為y=

3

3

x；設(shè)直線AC的解析式為y=k₂x+6，根據(jù)點(diǎn)C（2

3

，0）在直線AC上得k2=-

3

，所以直線AC的解析式為y=-

3

x+6，直線AC與直線OB的解析式聯(lián)立方程組，解得點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）利用三角函數(shù)值求得∠BOC=30°，又∠ACO=60°所以∠OPC=90°，故以O(shè)P為半徑的⊙O與直線AC相切于點(diǎn)P；
（3）D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），C點(diǎn)坐標(biāo)為（2

3

，0），要使點(diǎn)D在⊙O內(nèi)，點(diǎn)C在⊙O外，則⊙O的半徑r應(yīng)滿足2＜r＜2

3

，因?yàn)椤袿與⊙B相切，故R=4-r或R=4+r，結(jié)合2＜r＜2

3

可知4-2

3

＜R＜2或6＜R＜4+2

3

．

解答：（1）解：設(shè)直線OB的解析式為y=k₁x，
∵點(diǎn)B（2

3

，2）在直線OB上，
∴2=2

3

k1k1=

3

3

，
∴直線OB的解析式為y=

3

3

x，
設(shè)直線AC的解析式為y=k₂x+6，
∵點(diǎn)C（2

3

，0）在直線AC上，
∴0=2

3

k2+6，k2=-

3

，
∴直線AC的解析式為y=-

3

x+6，
直線AC與直線OB的交點(diǎn)P滿足方程組

y= 3 3 x y=- 3 x+6

，
解得

x= 3 3 2 y= 3 2

，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(

3 3

2

，

3

2

)；

（2）證明：∵tan∠OAC=

OC

OA

=

2 3

6

=

3

3

，
∴∠OAC=30°，∠ACO=60°，
又∵tan∠BOC=

BC

OC

=

2

2 3

=

3

3

，
∴∠BOC=30°又∠ACO=60°，
∴∠OPC=90°，
故以O(shè)P為半徑的⊙O與直線AC相切于點(diǎn)P；

（3）解：∵D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），C點(diǎn)坐標(biāo)為（2

3

，0），
要使點(diǎn)D在⊙O內(nèi)，點(diǎn)C在⊙O外，則⊙O的半徑r應(yīng)滿足2＜r＜2

3

，
∵在Rt△BOC中，∠BOC=30°，BC=2，
∴OB=4，
∵⊙O與⊙B相切，故有R+r=4或R-r=4，
從而有R=4-r或R=4+r，
∵2＜r＜2

3

，
∴4-2

3

＜R＜2或6＜R＜4+2

3

．

點(diǎn)評(píng)：主要考查了函數(shù)和幾何圖形的綜合運(yùn)用．解題的關(guān)鍵是會(huì)靈活的運(yùn)用函數(shù)圖象的性質(zhì)和交點(diǎn)的意義求出相應(yīng)的線段的長度或表示線段的長度，再結(jié)合具體圖形的性質(zhì)求解．