已知圓C：（x-1）2+（y-2）2=25，直線L：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（m∈R），設(shè)直線L與圓C的交點為A，B，當(dāng)直線L被圓C截得的弦最短時，求△ABC的面積．
考點：直線和圓的方程的應(yīng)用
專題：計算題,直線與圓
分析：將（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0，m∈R轉(zhuǎn)化為（x+y-4）+m（2x+y-7）=0，利用
x+y-4=0
2x+y-7=0
即可確定所過的定點D（3，1），當(dāng)AB⊥CD（此時該弦弦心距最大），直線l被圓C截得的弦長最小，從而可求△ABC的面積．
解答： 解：由（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0，m∈R得：（x+y-4）+m（2x+y-7）=0，
∵m∈R，
∴
x+y-4=0
2x+y-7=0
得
x=3
y=1
，
故l恒過定點D（3，1）
∵弦長的一半、該弦弦心距、圓的半徑構(gòu)成一個直角三角形，
∴當(dāng)AB⊥CD（此時該弦弦心距最大），直線l被圓C截得的弦長最小，
∵圓心C（1，2），
∴|CD|=
4+1
=
5

∴|AB|=
25-5
=2
5
，
∴當(dāng)直線L被圓C截得的弦最短時，△ABC的面積
1
2
•2
5
•
5
=5．
點評：本題考查直線與圓的位置關(guān)系及恒過定點的直線，考查三角形面積的計算，確定l恒過定點是關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=2i（2-i）的實部為a，虛部為b，則logab等于（　�。�
A、0B、1C、2D、3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

判定函數(shù)f（x）=
x2-2
+
2-x2
的奇偶性．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C1的參數(shù)方程為
x=acosφ
y=bsinφ
（a＞b＞0，φ為參數(shù)），且曲線C1上的點M（2，
3
）對應(yīng)的參數(shù)φ=
π
3
．且以O(shè)為極點，X軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2是圓心在極軸上且經(jīng)過極點的圓，射線θ=
π
4
與曲線C2交于點D（
2
，
π
4
）．
（1）求曲線C1的普通方程，C2的極坐標(biāo)方程；
（2）若A（ρ1，θ），B（ρ2，θ+
π
2
）是曲線C1上的兩點，求
1
ρ12
+
1
ρ22
的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知△EFG中，點E（-1，2），點F（-2，-3），點G（1，1），求EG邊上的高．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知在平面內(nèi)點P滿足|PM|-|PN|=2
2
，M（-2，0），N（ 2，0 ），O（0，0）
（1）求點P的軌跡S；
（2）直線y=k（x-2）與S交于點A，B，利用k表示△OAB的面積函數(shù)表達(dá)式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
3
3
，左焦點為F（-1，0），
（1）設(shè)A，B分別為橢圓的左、右頂點，過點F且斜率為k的直線L與橢圓C交于M，N兩點，若
AM
•
NB
+
AN
•
MB
=7求直線L的方程；
（2）橢圓C上是否存在三點P，E，G，使得S△OPE=S△OPG=S△OEG=
6
2
？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，平面四邊形ABCD的四個頂點都在球O的表面上，AB為球O的直徑，P為球面上一點，且PO⊥平面ABCD，NC=CD=DA=2，點M為PA的中點．
（1）證明：平面PBC∥平面ODM；
（2）求平面PBC與平面PAD所成銳二面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

直線l：
x=tcosα
y=1+tsinα
（t為參數(shù)）與圓C：
x=2+8cosθ
y=1+8sinθ
（θ為參數(shù)）相交所得的弦長的取值范圍是
 
．

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